最大似然估计正弦调频信号Matlab

对于正弦调频信号，其数学模型为：

$$ x(t) = A \sin(2\pi f_0 t + 2\pi \Delta f \int_{0}^{t} \cos(2\pi f_1 \tau) d\tau) $$

其中，$A$ 为振幅，$f_0$ 为基频，$f_1$ 为调频率，$\Delta f$ 为调频系数。

假设我们已经采集到了 $N$ 个样本点，分别表示为 $x_1, x_2, ..., x_N$，我们需要估计出正弦调频信号的参数 $A, f_0, f_1, \Delta f$。

这里我们可以使用最大似然估计来实现。具体做法如下：

1. 定义似然函数

对于正弦调频信号的模型，其似然函数为：

$$ L(A, f_0, f_1, \Delta f) = \prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x_i - A \sin(2\pi f_0 t_i + 2\pi \Delta f \int_{0}^{t_i} \cos(2\pi f_1 \tau) d\tau))^2}{2\sigma^2}\right) $$

其中，$\sigma$ 为噪声方差。

2. 对似然函数取对数

为了方便计算，我们对似然函数取对数：

$$ \ln L(A, f_0, f_1, \Delta f) = -\frac{N}{2}\ln(2\pi) - N\ln\sigma - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{N} (x_i - A \sin(2\pi f_0 t_i + 2\pi \Delta f \int_{0}^{t_i} \cos(2\pi f_1 \tau) d\tau))^2 $$

3. 求解最大似然估计

最大似然估计就是要找到一组参数 $A^*, f_0^*, f_1^*, \Delta f^*$，使得 $\ln L(A^*, f_0^*, f_1^*, \Delta f^*)$ 最大。我们可以通过优化算法（如梯度下降、牛顿法等）来求解最大似然估计。

在 Matlab 中，可以使用 fminsearch 函数来实现最大似然估计。具体代码如下：

% 定义正弦调频信号模型
model = @(x, t) x(1)*sin(2*pi*x(2)*t + 2*pi*x(3)*cumtrapz(t, cos(2*pi*x(4)*t)));

% 定义似然函数
likelihood = @(x, t, y, sigma) -sum(log(normpdf(y, model(x, t), sigma)));

% 生成随机信号
A = 1;
f0 = 50;
f1 = 5;
Delta_f = 0.5;
sigma = 0.1;
t = linspace(0, 1, 1000);
y = A*sin(2*pi*f0*t + 2*pi*Delta_f*cumtrapz(t, cos(2*pi*f1*t))) + sigma*randn(size(t));

% 最大似然估计
x0 = [1, 50, 5, 0.5]; % 初始参数
x = fminsearch(@(x) likelihood(x, t, y, sigma), x0); % 求解最大似然估计

其中，cumtrapz 函数用于求解 $\int_{0}^{t} \cos(2\pi f_1 \tau) d\tau$。