数学建模：（1）在一个很大的人群中通过血样检测普查某种疾病，假定血液为阳性的先验概率为p（通常p很小）。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组混合血样呈现阴性时，既可不检验判定该组每个人的血样都是阴性；而当某组的混合血样呈阳性时，即可判定该组至少有一个人血样为阳性，需再对该组的每个人再做检验。 1>当p固定时（如0.01%，...，0.1%，...,1%,...)如何分组，即多少人一组，可使平均检验次数最少 2>当p多大时不应分组检验 3>当p固定时如何进行二次分组（把混合血样为阳性的组再分成小组检验，重复一次分组时的程序） 4>讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组一分为二，继续下去），三分法等，重点写一下最后的分析讨论

1. 当p固定时，我们可以通过数学建模来推导出最小化平均检验次数的分组方案。假设每组有n个人，那么在一组混合血样呈阳性的情况下，需要对该组的n个人进行单独检验，因此检验次数为n+1；而在一组混合血样呈阴性的情况下，只需要检验一次混合血样即可判定该组每个人的血样均为阴性，因此检验次数为1。因此，对于一组有n个人的情况，平均检验次数为p(n+1)+(1-p)。我们可以对其求导，得到极小值点n*，即：

n* = sqrt(1/p)

因此，当p固定时，最小化平均检验次数的分组方案是每组将sqrt(1/p)个人的血样混合在一起化验。

2. 当p很大时，我们不应该分组检验。这是因为当p很大时，阳性的人数很可能会很多，这时候即使将若干人的血样混合在一起化验，混合血样仍然有很大可能会呈现阳性，这就需要对每个人的血样单独检验，分组检验的优势就会被抵消，反而引入了额外的复杂度。

3. 当p固定时，进行二次分组的思路和一次分组类似。首先将人群分成若干组，每组将sqrt(1/p)个人的血样混合在一起化验。对于混合血样呈阴性的组，直接判定该组每个人的血样均为阴性；对于混合血样呈阳性的组，将该组再次分成若干子组，每个子组将sqrt(1/p)个人的血样混合在一起化验，重复一次分组时的程序即可。

4. 其他分组方式，如二分法和三分法，可以类似地进行数学建模和推导。以二分法为例，即将人群一分为二，将每个子群的sqrt(1/p)个人的血样混合在一起化验。对于混合血样

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数学建模：在一个很大的人群中通过血样检测普查某种疾病，假定血液为阳性的先验概率为p（通常p很小）。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组混合血样呈现阴性时，既可不检验判定该组每个人的血样都是阴性；而当某组的混合血样呈阳性时，即可判定该组至少有一个人血样为阳性，需再对该组的每个人再做检验。 <1>当p固定时（如0.01%，...，0.1%，...,1%,...)如何分组，即多少人一组，可使平均检验次数最少 <2>当p多大时不应分组检验 <3>当p固定时如何进行二次分组（把混合血样为阳性的组再分成小组检验，重复一次分组时的程序） <4>讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组一分为二，继续下去），三分法等,包括重点写一下每个问题的分析讨论

1. 当p固定时，如何分组，即多少人一组，可使平均检验次数最少？

假设总人数为N，每组人数为m，组数为n（N=nm），则分组检验的平均检验次数为：

E = (1-p)^n * n + [1 - (1-p)^n] * (n + m)

其中第一项表示所有组都是阴性的情况下的平均检验次数，第二项表示至少有一组是阳性的情况下的平均检验次数。

为了使平均检验次数最少，需要求出E对m的导数dE/dm，使其等于0，解得：

m = sqrt(n/p)

将m代入E中，可得：

E = sqrt(Np) * sqrt(n) + sqrt(N/p) * (1 - 1/sqrt(n))

该式的极小值点为：

n = sqrt(Np)

因此，当p固定时，最优的分组方案是将人群分成sqrt(Np)组，每组人数为sqrt(N/p)。

2. 当p多大时不应分组检验？

当p越大，每个人血样为阳性的概率越大，分组带来的平均检验次数的减少也越小。当p接近于1时，每组都需要检验，分组的作用已经可以忽略不计。因此，当p越接近于1时，不应该进行分组检验。

3. 当p固定时如何进行二次分组？

在第一次分组中，将混合血样为阳性的组再分成k组，每组人数为m/k。设第二次分组的组数为n2，则有：

n = sqrt(Np)

k * n2 = n

每组的平均检验次数为：

E2 = (1 - p)^{n2} * n2 + [1 - (1 - p)^{n2}] * (n2 + m/k)

对E2求导，使其等于0，解得：

n2 = ln(1/p) / ln(1 - (1 - p)^{m/k})

因此，将混合血样为阳性的组再分成ln(1/p) / ln(1 - (1 - p)^{m/k})组，每组人数为m/k，进行二次分组可以使平均检验次数最少。

4. 其他分组方式的讨论，如二分法（人群一分为二，阳性组一分为二，继续下去），三分法等，包括重点写一下每个问题的分析讨论。

二分法：

二分法是将人群分为两组进行检测，如果其中一组为阳性，再将这一组分为两组继续检测。这个过程不断重复，直到所有人的血样都被检测过。假设总人数为N，每次分组后每组人数为m，则分组检验的平均检验次数为：

E = log2(N/m) + (1 - (1-p)^m) * log2(2)

其中第一项表示分组的次数，第二项表示至少有一组是阳性的情况下的平均检验次数。

对E求导，使其等于0，解得：

m = ln(1/p) / ln(1 - 1/(2^E))

因此，二分法的最优分组方案是每次将人群分为两组，每组人数为ln(1/p) / ln(1 - 1/(2^E))。

三分法：

三分法是将人群分为三组进行检测，如果其中一组为阳性，再将这一组分为三组继续检测。这个过程不断重复，直到所有人的血样都被检测过。假设总人数为N，每次分组后每组人数为m，则分组检验的平均检验次数为：

E = log3(N/m) + (1 - (1-p)^m) * log3(3)

其中第一项表示分组的次数，第二项表示至少有一组是阳性的情况下的平均检验次数。

对E求导，使其等于0，解得：

m = ln(1/p) / ln(1 - 1/(3^E))

因此，三分法的最优分组方案是每次将人群分为三组，每组人数为ln(1/p) / ln(1 - 1/(3^E))。

总的来说，分组检测的最优方案是与p有关的，当p较小时，分组可以显著减少平均检验次数，但当p较大时，分组的作用逐渐减小，直到可以忽略不计。二分法和三分法等多分法可以进一步减少平均检验次数，但需要更多的操作和时间。因此，在实际应用中需要综合考虑分组的效果和成本，选择最适合的分组方案。

R语言1、对N份血液作化验以普查某种疾病.分组检验方法:按k个人一组进行分组，同一组人的血样混合后检验.若混检结果阴性，则检验结束；若混检结果阳性，则每个人的重新抽血单独化验.试通过折线图分析，与每个人单独化验相比，混检方法能否减少工作量？假定每个人患病与否是相互独立的.

在R语言中，我们可以模拟这个过程来分析混检方法是否减少了工作量。首先，我们需要定义一些参数，如总人数N，每组人数k，以及疾病的患病率。假设我们有一组数据表示每个人患病的概率，我们可以按照以下步骤进行：

1. **设置参数**[^1]:

set.seed(123) # 设置随机数种子保证可复现结果
N <- 1000 # 总人数
k <- 10   # 每组人数
p <- 0.1  # 患病概率

# 创建一个布尔向量表示每个人是否患病
diseased <- rbinom(N, 1, p)

2. **模拟混检过程**:

# 初始化工作量变量
workload_group <- 0
workload_individual <- N

# 对于每个小组
for (i in 1:(N/k)) {
  group_samples <- diseased[sample(1:N, k)] # 抽取一组样本
  # 如果混检结果阴性
  if (!any(group_samples)) {
    workload_group <- workload_group + k
  } else { 
    # 否则，每个人都单独化验
    workload_group <- workload_group + k * length(unique(group_samples))
    workload_individual <- workload_individual - k
  }
}

# 结果对比
ratio <- workload_individual / workload_group
ratio

3. **绘制折线图**:

# 可视化混检方法的工作量节省比例
barplot(cbind(workload_group, workload_individual), names.arg = c("混检", "单个化验"),
        col = c("grey", "black"), ylab = "工作量", main = "混检与单个化验工作量比较")
abline(h = ratio, v = 1, lty = 2, col = "red", lwd = 2, 
       pos = 0, xaxt = "n") # 添加垂直线显示节省的比例
axis(1, at = c(workload_group, workload_individual), labels = c("混检", "单个化验"))

通过以上代码，你可以看到混检方法在理想情况下可以显著减少工作量，尤其是在患病率较低时效果明显。然而，实际效果会受到样本大小和患病率的影响。