冲激函数的傅立叶变换 推导

设冲激函数为$\delta(t)$，其傅立叶变换为$F(\omega)$，则有：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)e^{-j\omega t}dt$$

由于$\delta(t)$在$t=0$处取值为无穷大，而在其他位置取值为0，因此我们可以将积分区间划分为$(-\epsilon,\epsilon)$和$(-\infty,-\epsilon)\cup(\epsilon,\infty)$两个部分。对于第一个部分，我们可以将其近似为一个高斯函数，使其在$t=0$处取值为1，如下所示：

$$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(t)e^{-j\omega t}dt \approx \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{\frac{-t^2}{2\sigma^2}} e^{-j\omega t}dt$$

其中$\sigma$是一个趋近于0的小量，使得高斯函数在$t=0$处取值为1。将上式中的积分化简，可得：

$$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(t)e^{-j\omega t}dt \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{\frac{-t^2}{2\sigma^2}-j\omega t}dt$$

将上式中的积分用复合函数的求导法进行求解，可得：

$$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(t)e^{-j\omega t}dt \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \frac{e^{\frac{-\epsilon^2}{2\sigma^2}-j\omega\epsilon}-e^{\frac{-\epsilon^2}{2\sigma^2}+j\omega\epsilon}}{-j\omega}$$

对于第二个部分，由于$\delta(t)$在$t=0$处取值为0，因此其傅立叶变换为0。因此，我们可以将整个积分化简为：

$$F(\omega) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \frac{e^{\frac{-\epsilon^2}{2\sigma^2}-j\omega\epsilon}-e^{\frac{-\epsilon^2}{2\sigma^2}+j\omega\epsilon}}{-j\omega}$$

当$\epsilon$趋近于0时，上式右侧的分式中的分母趋近于0，因此需要对分式进行求导，得到：

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

因此，冲激函数的傅立叶变换为：

$$\mathcal{F}\{\delta(t)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$