推导直流信号、 阶跃信号的傅里叶变换。
时间: 2023-12-29 19:42:16 浏览: 200
首先,直流信号可以看作是频率为零的周期信号,因此,它的傅里叶变换为一个脉冲函数,即:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$
当$f(t)=C$时,$F(\omega)=C\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j\omega t}dt=C\cdot 2\pi\delta(\omega)$,其中$\delta(\omega)$是单位冲激函数。
其次,阶跃信号可以表示为直流信号和脉冲信号的和,即:
$$u(t)=1\cdot \delta(t)+u_0(t)$$
其中,$u_0(t)$是单位阶跃函数,它的傅里叶变换为:
$$U_0(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}u_0(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-j\omega t}dt=-\frac{1}{j\omega}$$
因此,阶跃信号的傅里叶变换为:
$$U(\omega)=\frac{1}{j\omega}+2\pi\delta(\omega)$$
这里需要注意的是,阶跃信号的傅里叶变换中包含了一个直流分量和一个脉冲分量,直流分量对应着信号的平均值,脉冲分量对应着信号的跳跃点。
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