单位阶跃函数的傅里叶变换推导

我们知道单位阶跃函数的表达式为：

$$ u(t) = \begin{cases} 0,\ t<0 \\ 1,\ t\geq 0 \end{cases} $$

要求它的傅里叶变换，可以根据傅里叶变换的定义式进行推导：

$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t)e^{-j\omega t} dt $$

因为 $u(t)$ 在 $t<0$ 的时候为 $0$，所以可以将积分区间改写为 $0$ 到 $\infty$：

$$ F(\omega) = \int_{0}^{\infty} u(t)e^{-j\omega t} dt $$

根据 $u(t)$ 的定义，可以将积分区间分成两部分：

$$ F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-j\omega t} dt $$

对于 $e^{-j\omega t}$ 这个函数，我们可以直接使用傅里叶变换的定义式进行求解：

$$ f(t) = e^{-j\omega t} $$

$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t}e^{-j\omega_0 t}dt $$

$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega+\omega_0)t}dt $$

当 $\omega + \omega_0 = 0$ 时，上式等于 $2\pi\delta(\omega+\omega_0)$。这里 $\delta(\omega)$ 代表狄拉克（Dirac）脉冲函数，对于一个满足条件的 $\omega$，它的傅里叶变换就是 $2\pi$，否则为 $0$。

回到原式，我们可以看出：

$$ F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-j\omega t} dt = \frac{1}{j\omega} $$

所以单位阶跃函数的傅里叶变换为：

$$ \mathcal{F}[u(t)] = \frac{1}{j\omega} $$