王世一《数字信号处理》课后答案详解：线性常系数差分方程与傅里叶变换

在《数字信号处理》王世一版的教程中，章节10主要探讨了一个线性常系数差分方程与因果系统的输入输出关系。这个系统通过以下差分方程定义： 1 1 yn yn xn xn = − + + − （a）要找出系统的单位取样响应，首先注意到它是因果系统，这意味着零输入响应从n=0开始。利用差分方程和单位阶跃函数δ(n)的关系，可以推导出单位取样响应hn(n)。根据教材内容，hn(n)可以通过卷积和δ(n)计算得出，但具体表达式没有直接给出，通常这一步涉及求解差分方程或者利用Z变换。 （b）对于输入序列jn(n)=e^(jnω)，通过卷积定理计算系统的输出yn(n)，即yn(n) = hn(n) * e^(jnω)。由于hn(n)是已知的单位取样响应，这里需要将它与ejnω进行卷积运算，然后求解得到yn(n)。 （c）系统的频率响应H(jω)定义为系统对任何输入信号x(n)e^(jnω)的输出的幅值比，也就是hn(n)的Z变换。通过Z变换，可以找到H(jω)的表达式，但由于hn(n)的具体形式未知，这里无法提供具体的频率响应。 （d）对于特定的输入cos(2π/4n)，系统响应同样需要通过Z变换计算。题目提到，当ω=2π/4时，可以利用幅频特性He(ω)和相频特性φ(ω)来确定输出yn(n)。给定的条件表明，幅频特性He(ω)与相频特性φ(ω)之间的关系涉及正切函数，且有φ(ω) = 2arctan(2) - arctan(2/5)。具体输出yn(n)则依赖于这些函数的值和输入信号的特定形式。 在第12题中，涉及序列的傅里叶变换，包括： - （a）序列δ(n)的移位版本，其傅里叶变换为3^n。 - （b）多项式序列与δ(n)的组合，通过逐项乘法法则，其傅里叶变换会包含多项式的幂次。 - （c）指数衰减序列，当0<a<1时，其傅里叶变换会是一个带通滤波器的形式。 - （d）两个不同序列un(n)的线性组合，其傅里叶变换需要分别计算并组合它们的结果。 这些问题都需要应用基本的傅里叶变换理论，如线性性质、卷积定理以及拉普拉斯变换等，以求得准确的解析结果。由于具体的数学运算细节未给出，这里只能提供理论框架。实际解题时，需要根据教材中的公式和方法步骤进行计算。