《数字信号处理》王世一版习题解答：差分方程与傅里叶变换

"《数字信号处理》王世一版北京理工大学出版社部分习题答案" 本文将探讨《数字信号处理》王世一版中涉及到的一些关键概念，包括线性常系数差分方程、单位取样响应、卷积和、频率响应、因果系统以及傅里叶变换。这些知识点在数字信号处理领域具有核心地位。 首先，线性常系数差分方程（LCCDE）是描述离散时间系统动态特性的基本工具。在题目中给出的方程，描述了一个因果系统的输入输出关系。因果系统是指其输出只依赖于当前及过去输入的系统。解这个方程，我们可以找到系统的单位取样响应 \( h(n) \)，它是系统对单位脉冲输入的响应。对于给定的LCCDE，通过Z变换可以求得单位取样响应 \( H(z) \)。 卷积和是数字信号处理中用于计算系统对任意输入信号响应的方法。在（b）部分，利用（a）中得到的单位取样响应 \( h(n) \)，我们可以对输入信号 \( x(n) = e^{j\omega n} \) 进行卷积，以获得系统对此特定输入的响应。卷积操作体现了线性系统的时间域性质。 频率响应 \( H(e^{j\omega}) \) 描述了系统对不同频率正弦输入的响应。在（c）部分，通过将 \( z \) 变换转换为 \( e^{j\omega} \) 变换，我们可以计算出系统的频率响应，并分析其幅频特性（幅度响应）和相频特性（相位延迟）。幅频特性表明系统对不同频率信号的放大或衰减程度，而相频特性则反映了信号通过系统时的相位变化。 在（d）部分，给定的输入信号是 \( x(n) = cos(2\pi \cdot 4n / \pi) = cos(8n) \)。我们已知频率响应 \( H(e^{j\omega}) \) 和相位特性 \( \phi(\omega) \)，可以根据它们计算系统对这个特定输入的响应 \( y(n) \)。 最后，傅里叶变换是分析周期性和非周期性信号的重要工具。在（a）、（b）、（c）和（d）的扩展中，傅里叶变换被用来找出序列的频谱成分。例如，（a）中的 \( x(n) = \delta(n-3) \) 的傅里叶变换是 \( X(e^{j\omega}) \)；（b）中的 \( x(n) \) 是由多个单位脉冲组成的序列，其傅里叶变换会是这些单位脉冲的傅里叶变换之和；（c）中 \( x(n) = a^n u(n) \)，其中 \( 0<a<1 \)，其傅里叶变换涉及到幂级数的处理；（d）中的 \( x(n) \) 是由两个序列的线性组合，其傅里叶变换可以通过两个序列的傅里叶变换的线性组合来求得。 这些习题涵盖了数字信号处理的关键概念，包括系统分析、频率域表示和傅里叶变换的应用。通过解决这些问题，学生能够深入理解信号处理的基本原理和方法。