求二项分布n的矩估计量的详细过程
时间: 2024-02-23 15:56:56 浏览: 35
二项分布的概率质量函数为:
$$
P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$
其中,$n$ 表示试验次数,$p$ 表示每次试验成功的概率,$X$ 表示成功的次数。
二项分布的期望为:
$$
E(X) = np
$$
因此,我们可以利用样本均值 $\bar{X}$ 估计 $E(X)$,即:
$$
\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m X_i
$$
其中,$m$ 表示样本数量,$X_i$ 表示第 $i$ 次试验的成功次数。
将 $E(X)$ 和 $\bar{X}$ 带入上式,得到:
$$
\bar{X} = np
$$
因此,可以得到 $p$ 的矩估计量:
$$
\hat{p} = \frac{\bar{X}}{n}
$$
接下来,我们需要求解 $n$ 的矩估计量。
根据二项分布的概率质量函数,可以得到:
$$
\begin{aligned}
Var(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\
&= np(1-p) + (np)^2 - (np)^2 \\
&= np(1-p)
\end{aligned}
$$
因此,可以利用样本方差 $S^2$ 估计 $Var(X)$,即:
$$
S^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m (X_i - \bar{X})^2
$$
将 $Var(X)$ 和 $S^2$ 带入上式,得到:
$$
S^2 = \frac{\bar{X}(1-\hat{p})}{n-1}
$$
移项,得到:
$$
n = \frac{\bar{X}^2}{\bar{X} - S^2}
$$
因此,可以得到 $n$ 的矩估计量:
$$
\hat{n} = \frac{\bar{X}^2}{\bar{X} - S^2}
$$
需要注意的是,这里的 $\hat{n}$ 只是一个估计值,可能不是整数,需要进行取整操作。