某种彩票的中奖概率p未知,m个人每人购买了n张彩票,中奖次数分别是x1,x2,x3xm,求p的矩估计和最大似然估计
时间: 2024-04-03 21:36:57 浏览: 26
首先,我们可以使用二项分布来描述每个人中奖的概率,假设每个人中奖概率为p,则每个人中奖的次数xi服从二项分布Bi(n,p),即:
P(xi=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中C(n,k)表示从n个彩票中选取k个彩票的组合数。
对于m个人购买彩票的情况,他们中奖的次数x1,x2,x3,...,xm分别服从参数为(n,p)的m个独立的二项分布。因此,x1,x2,x3,...,xm的联合概率分布为:
P(x1,x2,x3,...,xm) = P(x1)*P(x2)*...*P(xm)
其中,P(xi)是第i个人中奖次数为xi的概率,即:
P(xi) = C(n,xi) * p^xi * (1-p)^(n-xi)
最大似然估计:
最大似然估计的思想是选择一个参数,使得观测到的样本出现的概率最大。对于这个问题,我们要找到一个p值,使得x1,x2,x3,...,xm这m个样本出现的概率最大。
我们可以对P(x1,x2,x3,...,xm)取对数,得到:
log(P(x1,x2,x3,...,xm)) = log(P(x1)) + log(P(x2)) + ... + log(P(xm))
进一步展开可得:
log(P(x1,x2,x3,...,xm)) = Σ(xi*log(p) + (n-xi)*log(1-p) + log(C(n,xi)))
我们需要找到一个p值,使得上式的值最大。这可以通过求导来实现,即:
d(log(P(x1,x2,x3,...,xm)))/dp = Σ(xi/p - (n-xi)/(1-p)) = 0
解得:
p = Σxi/(mn)
因此,最大似然估计值为p = Σxi/(mn)。
矩估计:
矩估计的思想是利用样本的矩来估计总体的矩。对于这个问题,我们可以利用样本的均值来估计总体的均值,即:
E(x) = np
因此,p的矩估计值为:
p = Σxi/(mn)
注意,这与最大似然估计的结果是一样的。
综上所述,p的矩估计和最大似然估计的结果都是:
p = Σxi/(mn)