离散数学中的最小生成树算法
时间: 2023-11-10 10:46:51 浏览: 60
最小生成树算法是指在给定的带权无向连通图中,找到一棵生成树,使得所有边的权值之和最小。
常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法
Prim算法是一种贪心算法。假设当前已经选定了一个顶点集合S,根据贪心策略每次从剩余的顶点中选取一个与S中的顶点相邻的权值最小的顶点,将其加入S中,并将其与S中的某个顶点相连的边加入生成树中。重复此过程直到所有顶点都被加入S中。
2. Kruskal算法
Kruskal算法也是一种贪心算法。首先将图中的所有边按照权值从小到大排序,然后依次加入生成树中,如果加入某条边会形成环,则舍弃该边。重复此过程直到生成树中包含所有的顶点。
以上两种算法的时间复杂度均为O(ElogE),其中E为边数。在实际应用中,Prim算法更适合于稠密图,Kruskal算法更适合于稀疏图。
相关问题
离散数学中prim算法
Prim's算法,也称为Prim最小生成树算法,是图论中用于寻找无向连通加权图中最小生成树的一种经典算法。最小生成树是一个图中所有顶点的子集,其中任意两个顶点之间都存在边,并且边的总权重最小。这个算法以乔治·普里姆命名,他于1930年首次提出。
Prim算法的工作原理如下:
1. **初始选择**:从图中随机选择一个顶点作为起始点(通常是任意一个顶点)。
2. **扩展过程**:在剩余的未加入生成树的顶点中,找到当前生成树与其相连的边中权重最小的一条边,将这条边的另一个端点添加到生成树中。
3. **重复步骤**:重复第2步,直到所有顶点都被添加到生成树中,或无法再找到更小权重的边连接新的顶点。
4. **结束条件**:当图中只剩下一棵树时,停止,这棵树就是最小生成树。
Prim算法有两种常见的实现方法:
- **顺序版**(Prim-Jarník算法):每次迭代从当前集合中选择一个未加入集合的顶点,并更新最小边。
- **并查集版**(Floyd-Warshall算法变体):使用并查集数据结构辅助,找出当前已选顶点与未选顶点之间的最小边。
用C语言编写代码实现运行离散数学中生成树的程序
以下是用C语言实现生成树的程序:
```c
#include <stdio.h>
#define MAX 100
int n, m; //n表示点的个数,m表示边的个数
int graph[MAX][MAX]; //邻接矩阵存储图
int visited[MAX]; //标记数组,标记节点是否已经被访问
int min_distance[MAX]; //最小距离数组,存储每个节点到生成树的最小距离
int parent[MAX]; //父节点数组,存储每个节点在生成树中的父节点
void prim(int start) //Prim算法生成最小生成树
{
//初始化
int i, j, u;
for(i=0; i<n; i++)
{
visited[i] = 0;
min_distance[i] = graph[start][i];
parent[i] = start;
}
visited[start] = 1;
min_distance[start] = 0;
//生成n-1条边
for(i=0; i<n-1; i++)
{
int min = MAX;
//在未访问节点中找到距离生成树最近的节点
for(j=0; j<n; j++)
{
if(!visited[j] && min_distance[j] < min)
{
min = min_distance[j];
u = j;
}
}
visited[u] = 1;
//更新最小距离和父节点
for(j=0; j<n; j++)
{
if(!visited[j] && graph[u][j] < min_distance[j])
{
min_distance[j] = graph[u][j];
parent[j] = u;
}
}
}
}
void print_tree() //输出生成树
{
int i;
printf("生成树的边为:\n");
for(i=1; i<n; i++)
{
printf("%d-%d\n", parent[i], i);
}
}
int main()
{
int i, j, u, v, w;
printf("请输入点的个数和边的个数:");
scanf("%d%d", &n, &m);
//初始化邻接矩阵
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0; j<n; j++)
{
graph[i][j] = MAX;
}
}
//读入边的信息
for(i=0; i<m; i++)
{
printf("请输入第%d条边的起点、终点和权值:", i+1);
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
graph[u][v] = w;
graph[v][u] = w;
}
//生成最小生成树
prim(0);
//输出生成树
print_tree();
return 0;
}
```
运行程序后,按照提示输入点的个数和边的个数,以及每条边的起点、终点和权值,即可得到生成树的边。
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