空间复杂度太大,请你给出数学的解法
时间: 2024-03-10 07:50:45 浏览: 26
你说得对,动态规划的空间复杂度是O(kn),对于k和n较大的情况可能会超出内存限制。此时我们可以使用数学方法来解决这个问题。
首先,我们可以将每个甜点的价值转换为二进制形式,例如第i个甜点的价值为2^i,对应的二进制数为1后面跟着i个0,例如第5个甜点的价值为2^5=32,对应的二进制数为100000。
然后,我们可以将问题转化为求二进制数的和不超过n的所有组合数。设f(i,j)表示考虑前i个二进制位(即前i个甜点),二进制数的和为j的组合数。则最终答案为sum(f(k,j)),其中0≤j≤n。
对于f(i,j),有两种情况:
1. 第i个二进制位(即第i个甜点)不选,则f(i,j)=f(i-1,j);
2. 第i个二进制位选,则f(i,j)=f(i-1,j-2^i)。
因此可以得到转移方程:
f(i,j) = f(i-1,j) + f(i-1,j-2^i) (j≥2^i)
f(i,j) = f(i-1,j) (j<2^i)
初始状态为f(0,0)=1,即空集的组合数为1。
可以使用滚动数组优化空间复杂度,降低为O(n)。具体来说,令g(j)表示考虑前i个二进制位(即前i个甜点),二进制数的和为j的组合数,则g(j)的转移方程为:
g(j) = g(j) + g(j-2^i) (j≥2^i)
g(j) = g(j) (j<2^i)
因为g(j-2^i)的值只依赖于g(j)和g(j-2^i),因此可以使用滚动数组来优化空间复杂度。
最终的时间复杂度为O(nlogk),空间复杂度为O(n)。下面是Python代码:
```python
t = int(input())
for _ in range(t):
n, k = map(int, input().split())
g = [0] * (n+1)
g[0] = 1
for i in range(1, k+1):
for j in range(n, -1, -1):
if j >= 2**i:
g[j] += g[j-2**i]
print(g[n])
```
希望这个解法对你有所帮助!