半定规划是什么，给出一个使用半定规划的matlab例子

半定规划（Semi-Definite Programming，SDP）是一类优化问题，其约束条件包含半正定矩阵的不等式约束。SDP在理论上和实际应用中都具有重要的地位，可以用来处理很多不同的问题，如最优化问题、图和网络优化、控制和信号处理、组合优化等。

以下是一个使用MATLAB进行半定规划的例子：

假设有一个二次函数 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2$，并且有一个约束条件 $x_1 + x_2 \le 1$，我们想要求解该问题的最小值。

我们可以将该问题转化为一个半定规划问题。具体来说，我们可以定义一个 $2 \times 2$ 的半正定矩阵 $X$，并将目标函数和约束条件转化为下面的形式：

$$\begin{aligned} \text{Minimize:} &\quad \langle C, X \rangle \\ \text{Subject to:} &\quad \langle A_i, X \rangle = b_i, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ &\quad X \succeq 0 \end{aligned}$$

其中 $C = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$，$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$，$b_1 = 0$，$b_2 = 1$。

然后我们可以使用MATLAB的优化工具箱中的 `cvx` 函数来求解该半定规划问题。具体来说，我们可以使用以下代码求解该问题：

cvx_begin sdp
    variable X(2,2) semidefinite
    minimize(trace(C*X))
    subject to
        trace(A1*X) == b1
        trace(A2*X) == b2
        X >= 0
cvx_end

其中 `variable X(2,2) semidefinite` 表示定义一个 $2 \times 2$ 的半正定矩阵 $X$。`minimize(trace(C*X))` 表示最小化目标函数 $\langle C, X \rangle$。`subject to` 后面的两行表示约束条件 $\langle A_i, X \rangle = b_i$，以及 $X \succeq 0$。

运行以上代码后，我们可以得到最小值为 $-1$，此时 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。