设f(x)=3/2x1**2+1/2x2**2-x1x2-2x1,设初始值x(0)=(-2,4)^T,试求牛顿法极小化f(x),第一次迭代后的x(k+1)的结果是什么?
时间: 2024-03-31 22:34:18 浏览: 27
好的,现在我明白了你的问题。根据牛顿法的公式,我们可以得到以下迭代公式:
x(k+1) = x(k) - [Hf(x(k))]^-1 * ∇f(x(k))
其中,Hf(x(k))是f(x(k))的海森矩阵,∇f(x(k))是f(x(k))的梯度向量。
根据题目中给定的函数f(x),我们可以计算出它的梯度向量和海森矩阵:
∇f(x) = [3x1 - x2 - 2, x2 - x1]^T
Hf(x) = [[3, -1],[-1, 1]]
将初始值x(0) = (-2,4)^T带入上述公式,可以得到第一次迭代后的结果:
x(1) = x(0) - [Hf(x(0))]^-1 * ∇f(x(0))
将海森矩阵和梯度向量代入上式,得到:
x(1) = [-2, 4]^T - [[3, -1],[-1, 1]]^-1 * [8, -10]^T
计算可得:
[[3, -1],[-1, 1]]^-1 = [[0.4, 0.2],[0.2, 0.6]]
[x1, x2]^T = [-2, 4]^T - [[0.4, 0.2],[0.2, 0.6]] * [8, -10]^T
计算可得:
[x1, x2]^T = [-2, 4]^T - [1.6, -2.8]^T
因此,第一次迭代后的结果为:
x(1) = [-3.6, 6.8]^T
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2. 计算梯度。计算梯度g0=[2*x0[0]-x0[1]+2, -x0[0]+2*x0[1]-4]。
3. 判断终止条件。由于这里没有给定具体的阈值,可以设定一个较小的值,如1e-6。如果梯度的范数小于1e-6,则停止迭代,输出xk作为近似的极小值点。
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对f(x)求导,得到:
df/dx1 = x1 - 1/3
令df/dx1=0,得到x1=1/3。将x1=1/3代入f(x),得到最小值f(x)=1/18。
因此,最优化近似解为x1=1/3,x2=2/3,最小值为f(x)=1/18。
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