利用分支限界思想实现最大团问题的求解，给出伪代码，时间复杂性分析

伪代码如下：

1. 初始化最大团大小为0，当前团大小为0，当前节点为初始节点
2. 创建优先队列，将初始节点加入队列
3. while 队列不为空 do
4.     取出队列中的节点作为当前节点
5.     if 当前节点的团大小大于最大团大小 then
6.         更新最大团大小为当前节点的团大小
7.     end if
8.     if 当前节点的可扩展团大小小于等于最大团大小 then
9.         break
10.    end if
11.    for 每个可扩展节点 do
12.        if 节点的团大小大于当前团大小 and 节点是当前团的一个完全子图 then
13.            将节点加入当前团，更新当前团大小
14.            将节点加入优先队列
15.        end if
16.    end for
17. end while
18. 输出最大团大小

时间复杂度分析：在最坏情况下，每个节点都需要遍历一遍且每个节点的可扩展团大小都等于节点的团大小，此时每个节点会被加入队列中一次且被取出队列中一次，所以时间复杂度为$O(2^n)$，其中$n$是节点数。然而，在实际应用中，大多数节点的可扩展团大小都小于等于当前最大团大小，因此实际运行时间会远远小于最坏情况下的时间复杂度。

相关问题

分支限界算法实现最大团问题c语言代码

分支限界算法是一种解决组合优化问题的算法，其中最大团问题是其中一个经典的问题。下面是一个用C语言实现最大团问题的分支限界算法的简单示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

#define MAX_SIZE 100

int graph[MAX_SIZE][MAX_SIZE]; // 图的邻接矩阵
int maxClique[MAX_SIZE]; // 最大团的顶点集合
int maxCliqueSize = 0; // 最大团的大小

bool isSafe(int v, int clique[], int size, int index) {
    // 检查顶点v是否与已有的团中的顶点相邻
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (graph[v][clique[i]] == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void backtrack(int clique[], int size, int index, int k) {
    if (index == k) {
        // 更新最大团的大小和顶点集合
        maxCliqueSize = size;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            maxClique[i] = clique[i];
        }
        return;
    }

    for (int v = clique[index - 1] + 1; v < k; v++) {
        if (isSafe(v, clique, size, index)) {
            clique[index] = v;
            backtrack(clique, size + 1, index + 1, k);
        }
    }
}

void findMaxClique(int n) {
    int clique[MAX_SIZE];
    clique[0] = -1;
    backtrack(clique, 1, 1, n);
}

int main() {
    int n; // 图的顶点数
    printf("请输入图的顶点数：");
    scanf("%d", &n);

    printf("请输入图的邻接矩阵：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            scanf("%d", &graph[i][j]);
        }
    }

    findMaxClique(n);

    printf("最大团的顶点集合为：");
    for (int i = 0; i < maxCliqueSize; i++) {
        printf("%d ", maxClique[i]);
    }
    printf("\n最大团的大小为：%d\n", maxCliqueSize);

    return 0;
}

这段代码实现了一个简单的最大团问题的分支限界算法。用户需要输入图的顶点数和邻接矩阵，然后程序会输出最大团的顶点集合和大小。

最大团问题分支限界伪代码

以下是最大团问题分支限界算法的伪代码：

maxClique(G):
    bestClique = []
    clique = []
    nodes = G.nodes()
    sortedNodes = sortNodesByDegree(nodes, G)
    expandCliques(clique, sortedNodes, G, bestClique)
    return bestClique

expandCliques(clique, sortedNodes, G, bestClique):
    if no nodes left to add:
        if len(clique) > len(bestClique):
            bestClique = clique
        return
    if len(clique) + len(sortedNodes) <= len(bestClique):
        return
    node = sortedNodes.pop(0)
    expandCliques(clique + [node], getNextNodes(node, sortedNodes, G), G, bestClique)
    expandCliques(clique, sortedNodes, G, bestClique)

getNextNodes(node, sortedNodes, G):
    return [n for n in sortedNodes if G.has_edge(node, n)]

sortNodesByDegree(nodes, G):
    return sorted(nodes, key=lambda x: G.degree[x], reverse=True)

其中，`maxClique` 函数接收一个无向图 `G` 作为输入，返回最大团。该函数首先初始化 `bestClique` 和 `clique` 两个空列表，分别代表当前最优解和当前搜索路径中的节点。然后，按照节点度数从大到小排序，调用 `expandCliques` 函数进行搜索，并返回 `bestClique`。

`expandCliques` 函数接收当前搜索路径中的节点列表 `clique`、按度数排序后的节点列表 `sortedNodes`、无向图 `G` 和当前最优解 `bestClique`。如果当前节点列表中已经没有可以添加的节点，则判断是否是最优解，并返回。如果添加当前节点后的团大小不足以超过当前最优解，则剪枝。否则，将当前节点添加到搜索路径中，更新 `sortedNodes` 列表，继续搜索。然后，回溯到上一层搜索。

`getNextNodes` 函数接收当前节点和按度数排序后的节点列表 `sortedNodes`、无向图 `G`，返回与当前节点相邻且尚未添加到搜索路径中的节点。

`sortNodesByDegree` 函数按照节点度数从大到小排序，并返回排序后的节点列表。