已知I∪{A}⊢¬A,可以得到I⊢¬A吗?如果可以，形式证明之，如果不行，给出 对应的反例I.

不能直接得到 I ⊢ ¬A，因为 I 中不一定包含 A 或非A。我们可以通过构造一个反例来说明这个结论不成立。下面是一个反例：

设 I = {B}，其中 B 是一个非永真式。由于 I ∪ {A} ⊢ ¬A，根据推出规则的可逆性，我们可以得到 I ⊢ ¬A ∨ ¬A，即 I ⊢ ¬A。但是这个结论并不成立，因为 I = {B} 中的 B 与非A 不矛盾。因此，这个命题不成立，存在反例。

相关问题

已知: ‏ ‎(1)能阅读者是识字的; ‏ ‎(2)海豚不识字; ‏ ‎(3)有些海豚是聪明的; ‏ ‎已知谓词R（x）表示x能阅读, L(x)表示识字，D（x）表示x是海豚，I（x）表示聪明的，请用归结原理证明：有些聪明者并不能阅读。

好的，让我来解答你的问题。

根据题目中的已知条件和要求，我们需要进行归结原理的证明，证明有些聪明者并不能阅读。

首先，我们知道有些海豚是聪明的，即∃x [D(x) ∧ I(x)]，也就是存在一个x，它是海豚并且聪明。

又因为海豚不识字，即∀x [D(x) → ¬L(x)]，任何一只海豚都不识字。

根据归结原理，我们可以引入一个新的谓词N(x)，表示x不能阅读，即 ¬R(x)。

然后，我们对 ∃x [D(x) ∧ I(x)] 进行归结，得到 N(a) ∨ L(a)（a为新引入的常量）。

接下来，我们对 ∀x [D(x) → ¬L(x)] 进行归结，得到 ¬D(b) ∨ ¬L(b)（b为新引入的常量）。

我们需要将它们归结到一起，得到 ¬D(b) ∨ ¬L(b) ∨ N(a) ∨ L(a)。

由此可知，如果假设存在一个聪明者可以阅读，即∃x [I(x) ∧ R(x)]，则可以推出 ¬D(b) ∨ ¬L(b) ∨ L(a)。这与我们已知的条件产生冲突，因为有一些海豚确实是聪明的，但它们无法识字和阅读。

因此，证明了有些聪明者并不能阅读。

使用lean 3完成example : (¬P∨ Q) →P → Q :=

Lean 3 是一种基于 Lean 语言的数学证明环境，它主要用于形式化数学推理，包括逻辑学中的论证。在这个例子中，我们看到的是一个经典的逻辑命题，表示的是蕴含式 "如果非P或者Q是真的，并且P也为真，则Q一定为真"。

要使用 Lean 3 来完成这个证明，你需要按照以下步骤：

1. 定义变量和假设：首先需要声明变量 `p` 和 `q` 表示 P 和 Q 的状态，并引入否定符 `¬` 来表示非 P。例如：

variables p q : Prop
h1 : ¬p ∨ q
h2 : p

这里，`Prop` 是 Lean 中的布尔值类型。

2. 利用逻辑推导规则：你可以使用 `or.elim` 来处理合取（`∨`），这意味着我们需要分别考虑两种情况：`¬p` 为真和 `q` 为真。对于 `h1`，我们有：

have h_or_q : q ∨ ¬p,
proof by assumption,

3. 分别证明：接着对两种情况进行分析，当 `¬p` 为假 (`false`) 或者 `q` 为真 (`true`)，根据命题的逻辑性质可以推出 `q`。因为 `p` 已知为真（`h2`），`¬p` 为假，所以 `q` 必然为真：

have h_not_p_false : ¬ ¬p,
proof by contradiction,
from h_not_p_false have p_true : p,
proof by auto,
from h_or_q cases_on this with hp q_or_not_p;

4. 综合法（Implication Elimination）：使用 `imp_elim` 函数结合假设 `h2` 和推断出的 `q_or_not_p` ：

exact imp_elim h1 h2 hp q_or_not_p,

5. 最终证明：这将得出结论 `Q` 为真。

完整的 Lean 3 代码可能是这样的：

example : (¬p ∨ q) → p → q :=
begin
  variables p q : Prop,
  assume h1 : ¬p ∨ q,
  assume h2 : p,
  have h_or_q : q ∨ ¬p := h1,
  have h_not_p_false : ¬ ¬p,
    proof by contradiction,
    from h_not_p_false show p, exact h2,
  cases h_or_q with hp q_or_not_p,
  exact imp_elim h1 h2 hp q_or_not_p,
end