对于线性灰度级变换函数 ，请证明输入输出直方图关系公式

设输入图像的灰度级范围为 $[a,b]$，输出图像的灰度级范围为 $[c,d]$，线性灰度级变换函数为 $T(r)$，其中 $r$ 是输入图像中的灰度级值，$s=T(r)$ 是输出图像中的灰度级值。

输入图像的灰度级值 $r$ 在输入直方图中的概率密度函数为 $p_r(r)$，输出图像的灰度级值 $s$ 在输出直方图中的概率密度函数为 $p_s(s)$。

根据定义，输入直方图中的概率密度函数可以表示为：

$$p_r(r) = \frac{n_r(r)}{N}$$

其中，$n_r(r)$ 是输入图像中灰度级值为 $r$ 的像素个数，$N$ 是输入图像的像素总数。同样地，输出直方图中的概率密度函数可以表示为：

$$p_s(s) = \frac{n_s(s)}{N}$$

其中，$n_s(s)$ 是输出图像中灰度级值为 $s$ 的像素个数。

根据线性灰度级变换函数的定义，有：

$$s = T(r) = \frac{r-a}{b-a}(d-c)+c$$

对上式两边求导数，得到

$$ds = \frac{d}{b-a}dr$$

将 $ds$ 和 $dr$ 代入到 $p_s(s)$ 和 $p_r(r)$ 中，得到：

$$p_s(s) = p_r(r)\frac{dr}{ds}\frac{d}{b-a}$$

将 $dr$ 和 $ds$ 代入到 $s=T(r)$ 中，得到：

$$\frac{dr}{ds} = \frac{b-a}{d-c}$$

将上式代入到 $p_s(s)$ 中，得到：

$$p_s(s) = p_r(r)\frac{b-a}{d-c}\frac{d}{b-a} = p_r(r)\frac{1}{d-c}$$

因此，输入直方图 $p_r(r)$ 和输出直方图 $p_s(s)$ 之间的关系可以表示为：

$$p_s(s) = p_r(r)\frac{1}{d-c}$$

这就是输入输出直方图关系公式。