为什么样本点到均值的平方和最小为方差

样本点到均值的平方和被称为“平方和偏差和”（sum of squared deviations），记作SSD。方差是样本方差，它是平方和偏差和除以样本个数减1的结果。

我们可以用数学公式来表示：

$$\operatorname{SSD}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

$$\operatorname{Var}(X)=\frac{\operatorname{SSD}}{n-1}$$

其中，$x_i$ 是第 $i$ 个样本点的取值，$\bar{x}$ 是所有样本点的均值，$n$ 是样本个数。

方差是样本点与均值之间差的平方和的平均值，它是衡量数据离散程度的一种方法。当样本点分布在均值周围时，平方和偏差和最小，此时方差也最小。因此，我们可以使用平方和偏差和来计算方差。

相关问题

计算日对数收益率的样本均值，方差、偏度和峰度

计算金融时间序列中的日对数收益率（Logarithmic Return）的统计特性，如样本均值、方差、偏度和峰度，可以帮助我们理解资产价格波动的特征。以下是这些概念的简单解释：

1. **样本均值** (Mean): 它是所有日对数收益率数据点加总后再除以天数的结果，反映了平均每日收益水平。如果结果为正，则可能表明整体上价格上涨；如果是负值，通常表示下跌。

   log_returns = [r1, r2, ..., rn]  # 日对数收益率列表
   mean_return = sum(log_returns) / len(log_returns)

2. **样本方差** (Variance): 反映了收益率偏离其平均值的程度。它是每个收益率减去平均值后平方的平均值，用于衡量风险。

   variance = sum((log_returns - mean_return)**2) / (len(log_returns) - 1)

3. **偏度** (Skewness): 描述数据分布的不对称程度。若偏度正值，表示数据向右偏斜（右侧尾部较长），即存在更多的极端上涨情况；若为负值，则左偏，表示更多极端下跌。

   skewness = fisher_skewness(log_returns)  # 使用统计库计算偏度，如numpy或scipy

4. **峰度** (Kurtosis): 表示数据分布的尖峰程度。高峰度意味着数据更集中于平均值周围，有较少的数据落在远端，这可能是描述市场“肥尾”现象的重要指标。

   kurtosis = excess_kurtosis(log_returns)  # 同样，使用相关统计函数

方差中分样本方差和总体方差的说法吗

是的，方差可以分为样本方差和总体方差。

总体方差指的是针对整个总体的方差，通常用符号σ²表示。总体方差是指总体中每个数据点与总体均值的差的平方值的平均数，即：

σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N

其中，xᵢ是总体中的每个数据点，μ是总体均值，N是总体中数据点的数量。

样本方差指的是基于样本数据计算出的方差，通常用符号s²表示。样本方差是指样本中每个数据点与样本均值的差的平方值的平均数，即：

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)

其中，x̄是样本均值，n是样本中数据点的数量。注意，样本方差分母是(n-1)，而不是n，这是为了在样本方差中进行无偏估计。

总体方差和样本方差的主要区别在于，总体方差使用总体均值，而样本方差使用样本均值，同时，样本方差的分母比总体方差的分母小1。因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择使用哪种方差。