高三毕业晚会上，竞赛班的老师们都给同学们留言，祝福大家走出广西后继续努力实现人生理想。教数学的黄老师给大家的留言竟然是一道数学问题：“将一个整数 m分解为 n个四次方数的和的形式，要求 n最小。”例如，m = 706 , 706 = 5^4 + 3^4 , 则 n = 2。作为著名高中数学教练，黄老师当然希望大家能够学好数学，用好数学，将来学习理工科专业，数学是很重要的。这个问题对于编程班的同学就很简单的了，希望下次黄老师再次留言的时候和学生说：数学很重要！学好编程也很重要！

黄老师留言的这个问题是一个经典的数学问题，称为“Waring's problem”，即瓦林问题。它的解法可以使用数学的方法，也可以使用编程的方法。

首先，我们可以使用数学的方法来解决这个问题。根据瓦林定理，任意正整数n都可以表示为4个自然数的四次方之和。因此，对于任意正整数m，我们可以先尝试将它表示为4个自然数的四次方之和。如果可以表示为4个自然数的四次方之和，那么n的值就是4；否则，我们需要尝试将它表示为3个自然数的四次方之和。如果可以表示为3个自然数的四次方之和，那么n的值就是3；否则，我们需要尝试将它表示为2个自然数的四次方之和。如果可以表示为2个自然数的四次方之和，那么n的值就是2；否则，我们只能将它表示为1个自然数的四次方，此时n的值为1。

具体实现可以参考以下代码：

import math

def waring(m):
    for n in range(1, 5):
        if is_sum_of_fourth_powers(m, n):
            return n
    return -1

def is_sum_of_fourth_powers(m, n):
    if n == 1:
        return m == int(math.pow(round(math.pow(m, 1/4)), 4))
    for i in range(round(math.pow(m, 1/4)), int(math.pow(m, 1/4)) // math.sqrt(2) - 1, -1):
        if is_sum_of_fourth_powers(m - int(math.pow(i, 4)), n - 1):
            return True
    return False

m = int(input())
print(waring(m))

当然，对于比较大的m，上述代码可能会超时，因此我们可以添加记忆化搜索来优化它。

另外，我们也可以使用编程的方法来解决这个问题。具体来说，我们可以使用动态规划算法。假设$f(m)$表示将正整数m分解为若干个四次方数的和的最小个数。对于任意正整数m，它可以表示为$i^4+j^4$的形式，其中$i,j$都是正整数。因此，我们可以枚举$i,j$，并计算$f(m-i^4-j^4)+1$的最小值，即可得到$f(m)$的值。

具体实现可以参考以下代码：

import math

def waring(m):
    dp = [float('inf')] * (m + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, int(math.pow(m, 1/4)) + 1):
        for j in range(i, int(math.pow(m - i**4, 1/4)) + 1):
            dp[i**4 + j**4] = 2
            for k in range(j, int(math.pow(m - i**4 - j**4, 1/4)) + 1):
                dp[i**4 + j**4 + k**4] = 3
                for l in range(k, int(math.pow(m - i**4 - j**4 - k**4, 1/4)) + 1):
                    dp[i**4 + j**4 + k**4 + l**4] = 4
    return dp[m]

m = int(input())
print(waring(m))

无论是使用数学的方法，还是使用编程的方法，都可以得到正确的答案。