对该模型给出解析解、majorization-minimization 优化,并给出收敛曲线
时间: 2024-03-07 09:50:56 浏览: 12
岭回归模型的解析解可以通过以下公式给出:
$$
w = (X^TX + \lambda I)^{-1}X^Ty
$$
其中,$w$是待求解的权重向量,$X$是训练数据的特征矩阵,$y$是训练数据的标签向量,$\lambda$是岭回归算法的超参数,$I$是单位矩阵。
majorization-minimization 优化算法可以被用于求解岭回归问题。该算法的基本思想是:将原问题转化为一个更容易求解的问题,并迭代求解。
具体地,我们可以将岭回归问题转化为以下形式:
$$
\min_{w} f(w) + g(w)
$$
其中,
$$
f(w) = \frac{1}{2}\|Xw - y\|^2
$$
表示数据拟合项,而
$$
g(w) = \frac{\lambda}{2}\|w\|^2
$$
表示正则化项。
然后,我们可以使用majorization技巧,将原问题转化为以下形式:
$$
\min_{w} h(w, w^{(t)}) + g(w)
$$
其中,
$$
h(w, w^{(t)}) = f(w^{(t)}) + \nabla f(w^{(t)})^T(w - w^{(t)}) + \frac{L}{2}\|w - w^{(t)}\|^2
$$
其中,$w^{(t)}$是上一次迭代得到的权重向量,$L$是Lipschitz常数,$\nabla f(w^{(t)})$是$f(w^{(t)})$的梯度。
然后,我们可以使用proximal gradient算法来迭代求解。具体地,我们可以使用以下公式更新权重向量:
$$
w^{(t+1)} = \text{prox}_{\gamma g}(w^{(t)} - \gamma \nabla h(w^{(t)}, w^{(t)}))
$$
其中,$\text{prox}_{\gamma g}$表示$g(w)$的proximal算子,$\gamma$是学习率。
收敛曲线可以通过迭代过程中的目标函数值来绘制。具体地,我们可以在每次迭代后计算目标函数的值,并将其记录下来,最后绘制出收敛曲线。