运筹学动态规划机器负荷问题例题讲解

好的，下面我会通过一个例题来讲解运筹学动态规划在机器负荷问题上的应用。

假设有两台机器A和B，需要在三个时间段内完成五个任务。每个任务需要在一台机器上完成，且每个任务的时间不同。机器A和B在不同时间段内的可用工作时间也不同，如下表所示：

| 任务 | 时间段1 | 时间段2 | 时间段3 |
|------|---------|---------|---------|
| 1 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 3 | 1 |
| 5 | 3 | 2 | 1 |

| 机器 | 时间段1 | 时间段2 | 时间段3 |
|------|---------|---------|---------|
| A | 4 | 2 | 3 |
| B | 3 | 2 | 1 |

我们需要合理地安排机器的工作负荷，使得在每个时间段内每台机器的工作时间不超过其可用工作时间，并且在三个时间段内完成所有五个任务的总时间最短。

我们可以定义一个状态表示为：$dp[i][j][k]$表示在第$i$个时间段内，机器A已完成$j$个任务，机器B已完成$k$个任务的最短完成时间。

根据状态的定义，我们可以得到状态转移方程：

$$
dp[i][j][k] = \min\{dp[i-1][j][k]+t_{j+k+1}^A[i], dp[i][j-1][k]+t_{j+k+1}^B[i], dp[i][j][k-1]+t_{j+k+1}^B[i]\}
$$

其中，$t_{j+k+1}^A[i]$表示在第$i$个时间段内完成第$j+k+1$个任务需要的时间，如果在机器A上完成，则为其完成时间；如果在机器B上完成，则为在机器B上完成该任务的时间加上机器A空闲的时间。同理，$t_{j+k+1}^B[i]$表示在第$i$个时间段内完成第$j+k+1$个任务需要的时间，如果在机器B上完成，则为其完成时间；如果在机器A上完成，则为在机器A上完成该任务的时间加上机器B空闲的时间。

最终的答案为：$dp[3][5][0]$，即在第三个时间段内，机器A已完成5个任务，机器B已完成0个任务的最短完成时间。

以上就是一个简单的例题，它展示了运筹学动态规划在机器负荷问题上的应用。