有限元解一维poisson方程 matlab

有限元法是一种通过数值方法来求解偏微分方程的技术，其中Poisson方程是其中非常重要的一种方程。一维Poisson方程的形式为：
$$-\frac{d^2u}{dx^2}=f(x)$$
通过有限元法，我们可以将该方程离散化为一组线性方程，然后求解这组方程以得到其数值解。具体步骤如下：

（1）将一维区间[a, b]均分为N个小区间，每个小区间称为单元，其中每个单元的长度为h=(b-a)/N。

（2）建立有限元空间，这里采用线性单元。对于每个单元[e, e+1]，引入一个线性基函数φ(x)={(x-e+1)/h, (e+1-x)/h}。

（3）通过有限元离散化，将原方程转化为n个线性方程。因为每个单元有两个节点（两个端点），则总节点个数为n=N+1，将每个节点的函数值作为未知数，我们可以得到以下线性方程：
$$\frac{1}{h^2}(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})=f_i, i=1,2,\cdots,N-1.$$
同时，由于边界条件为u(a)=0, u(b)=0，我们可得到以下两个边界条件：
$$u_1=0,$$
$$u_N=0.$$
这样我们便得到了n个线性方程，可以通过求解这组方程得到近似解。

（4）使用MATLAB编程实现该算法并进行数值模拟。由于MATLAB具有较高的可视化能力，可以方便地绘制出一维Poisson方程的解图形，以便更好地展示算法的效果。

通过以上步骤，我们便可以使用有限元法求解一维Poisson方程。