Matlab实现最速下降法

最速下降法（Steepest Descent Method）也叫梯度下降法，是一种最基本的迭代优化算法，常用于求解无约束问题。其基本思路是：从起始点出发，沿着梯度方向（即函数值下降最快的方向）进行迭代搜索，直到达到某个终止条件为止。

下面是Matlab实现最速下降法的示例代码：

% 定义目标函数
f = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

% 定义目标函数的梯度
g = @(x) [-400*x(1)*(x(2) - x(1)^2) - 2*(1 - x(1)); 200*(x(2) - x(1)^2)];

% 设置初始值和迭代终止条件
x0 = [0; 0];
tol = 1e-6; % 残差的最大值

% 进行最速下降迭代
x = x0; % 初始值
k = 0; % 迭代次数
while norm(g(x)) > tol
    k = k + 1;
    alpha = 0.1 / k; % 步长
    x = x - alpha * g(x); % 迭代公式
end

% 输出结果
disp(['迭代次数：', num2str(k)]);
disp(['最优解：[', num2str(x(1)), ', ', num2str(x(2)), ']']);
disp(['目标函数最小值：', num2str(f(x))]);

其中，目标函数为Rosenbrock函数，定义为：

$$
f(x_1, x_2) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2
$$

可以看出，该函数的全局最小值位于点$[1, 1]$处，其函数值为0。

在上面的代码中，我们首先定义了目标函数和梯度函数，然后设置了初始值和迭代终止条件（残差的最大值）。接着进行最速下降法的迭代，直到满足迭代终止条件为止。最后输出结果，包括迭代次数、最优解和目标函数最小值。

需要注意的是，最速下降法并不一定能够收敛到全局最优解，特别是对于非凸问题。因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的优化算法。