利用matlab实现最速下降法

最速下降法（Steepest Descent Method）是一种迭代算法，用于求解无约束优化问题。最速下降法的基本思想是在每个迭代步骤中，沿着当前点的最陡方向（负梯度方向）搜索，以获得函数的最小值。下面是利用Matlab实现最速下降法的代码示例：

% 定义目标函数 f 和其梯度函数 df
syms x1 x2; 
f = x1^2 + 2*x2^2 + 2*x1*x2 - 6*x1 - 8*x2 + 13;
df = gradient(f, [x1, x2]);

% 定义初始点和迭代次数
x0 = [3; 3];
max_iter = 100;

% 初始化
x = x0;
iter = 0;
err = 1;

% 迭代
while iter < max_iter && err > 1e-6
    % 计算当前点的梯度
    df_val = double(subs(df, [x1, x2], [x(1), x(2)]));
    
    % 沿着最陡方向更新 x
    alpha = 0.1; % 步长
    x_new = x - alpha * df_val;
    
    % 计算更新后的误差
    err = norm(x_new - x);
    
    % 更新 x 和迭代次数
    x = x_new;
    iter = iter + 1;
    
    % 输出迭代结果
    disp(['Iter: ', num2str(iter), ', x = [', num2str(x(1)), ', ', num2str(x(2)), '], err = ', num2str(err)]);
end

disp('Final Result:');
disp(['x = [', num2str(x(1)), ', ', num2str(x(2)), '], f(x) = ', num2str(double(subs(f, [x1, x2], [x(1), x(2)])))]);

在上述代码中，首先定义了目标函数和梯度函数。然后设置初始点和迭代次数，并初始化迭代变量。在每次迭代中，首先计算当前点的梯度，然后沿着最陡方向更新 x。最后计算更新后的误差，并更新迭代变量。当达到最大迭代次数或误差小于一定阈值时，迭代停止。最终输出找到的最小值和对应的 x 值。

需要注意的是，最速下降法并不一定能够保证收敛到全局最小值，特别是在函数存在多个局部最小值的情况下。因此，在实际应用中，通常需要结合其他优化算法一起使用，以提高优化的效果。