de45求解变刚度阻尼双足机器人动力学方程,求某个变量对所有变量求导MATLA
时间: 2023-06-25 16:04:53 浏览: 57
为了求解变刚度阻尼双足机器人动力学方程,我们需要先建立该系统的动力学模型。假设该机器人有 $n$ 个自由度,可以用以下形式表示其动力学方程:
$$M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = \tau + J(q)^T f$$
其中,$q \in \mathbb{R}^n$ 是机器人的关节角度向量,$\dot{q}$ 和 $\ddot{q}$ 分别是关节角速度和角加速度向量,$M(q)$ 是机器人的质量矩阵,$C(q,\dot{q})$ 是科里奥利力矩阵,$g(q)$ 是重力矩阵,$\tau$ 是关节力矩向量,$J(q)$ 是末端执行器的雅克比矩阵,$f$ 是末端执行器受到的外力向量。
对于变刚度阻尼双足机器人来说,$M(q)$、$C(q,\dot{q})$、$g(q)$、$J(q)$ 和 $\tau$ 都会随着时间变化而变化,因此需要考虑它们对时间的依赖性。假设机器人的刚度和阻尼系数分别为 $k$ 和 $c$,则动力学方程可以写成以下形式:
$$M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = \tau + J(q)^T f - k(q)q - c(q)\dot{q}$$
其中 $k(q)$ 和 $c(q)$ 分别是刚度和阻尼系数的函数。这里我们假设它们是关于关节角度 $q$ 的函数。
要求某个变量对所有变量求导,可以使用 MATLAB 中的符号计算工具箱。假设我们要求 $\frac{\partial \ddot{q}}{\partial x}$,其中 $x$ 是系统中的某个变量。我们可以按照以下步骤进行计算:
1. 将动力学方程中的所有变量都定义为符号变量:
```matlab
syms q1 q2 q3 ... qn % 关节角度
syms dq1 dq2 dq3 ... dqn % 关节角速度
syms ddq1 ddq2 ddq3 ... ddqn % 关节角加速度
syms tau1 tau2 tau3 ... taun % 关节力矩
syms f1 f2 f3 % 末端执行器受力
syms k c % 刚度和阻尼系数
syms x % 需要求导的变量
```
2. 将动力学方程中的各个项表示为符号表达式:
```matlab
M = sym('M', [n n]); % 质量矩阵
C = sym('C', [n n]); % 科里奥利力矩阵
g = sym('g', [n 1]); % 重力矩阵
J = sym('J', [3 n]); % 雅克比矩阵
q = [q1; q2; q3; ...; qn];
dq = [dq1; dq2; dq3; ...; dqn];
ddq = [ddq1; ddq2; ddq3; ...; ddqn];
tau = [tau1; tau2; tau3; ...; taun];
f = [f1; f2; f3];
Mq = subs(M, [q1;q2;q3;...;qn], q); % 将 M 中的 q 替换为实际的关节角度
Cqdq = subs(C, [q1;q2;q3;...;qn;dq1;dq2;dq3;...;dqn], [q;dq]); % 将 C 中的 q 和 dq 替换为实际的关节角度和角速度
gq = subs(g, [q1;q2;q3;...;qn], q); % 将 g 中的 q 替换为实际的关节角度
Jq = subs(J, [q1;q2;q3;...;qn], q); % 将 J 中的 q 替换为实际的关节角度
kq = subs(k, [q1;q2;q3;...;qn], q); % 将 k 中的 q 替换为实际的关节角度
cq = subs(c, [q1;q2;q3;...;qn], q); % 将 c 中的 q 替换为实际的关节角度
```
3. 将动力学方程中的所有项表示为符号表达式:
```matlab
f_dyn = Mq*ddq + Cqdq*dq + gq - tau - Jq.'*f + kq*q + cq*dq;
```
4. 对 $f_{dyn}$ 求 $\frac{\partial \ddot{q}}{\partial x}$:
```matlab
diff_f = jacobian(f_dyn, ddq);
diff_f_x = subs(diff_f, x, x_value); % 将 x 替换为实际的数值
```
其中,`x_value` 是需要求导的变量在当前时刻的数值。
通过这种方式,我们就可以求出 $\frac{\partial \ddot{q}}{\partial x}$ 对所有变量的导数了。需要注意的是,由于动力学方程中的各个项都是复杂的符号表达式,因此在实际计算导数时可能会比较耗时。
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