jordan标准型求法例题

下面是一道 Jordan 标准型的求解例题：

考虑线性时不变系统 $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$，其中 $A$ 为 $n \times n$ 的矩阵，$B$ 为 $n \times m$ 的矩阵。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，对应的特征向量为 $v_1, v_2, \dots, v_n$。

首先，我们要将 $A$ 转换为 Jordan 标准型。设 $J$ 为 $A$ 的 Jordan 标准形，$T$ 为相应的变换矩阵，则有 $A = T J T^{-1}$。$J$ 的形式为：

$$
J = \begin{bmatrix}
J_1 & & \\
& \ddots & \\
& & J_k
\end{bmatrix}
$$

其中 $J_i$ 的形式为：

$$
J_i = \begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda_i
\end{bmatrix}
$$

接下来，我们要将系统转换为 Jordan 标准型下的形式。设 $y(t) = T^{-1} x(t)$，则有 $\dot{y}(t) = T^{-1} \dot{x}(t)$，代入原方程得：

$$
T^{-1} \dot{x}(t) = AT^{-1} x(t) + Bu(t)
$$

左乘 $T$，得到：

$$
\dot{y}(t) = J y(t) + T^{-1} B u(t)
$$

此时，$J$ 为 Jordan 标准型。