习题2.25:某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且联合概率: P(x=雨，y=雨)=1/8,P(x=雨，y=无雨)=1/16,P(x=无雨，y=雨)=3/16,P(x=无雨，y=无雨)=10/16, 求： (1)天气预报准确率； (2)气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y); (3)如果天气预报总预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)

首先，我们可以用条件概率的公式计算出天气预报的准确率：

P(y=无雨|x=无雨) + P(y=雨|x=雨) = 10/16 + 1/8 = 7/16

接下来，我们可以用联合概率、边缘概率和条件概率的公式计算出信息量：

I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X)

其中，H(X)和H(Y)分别表示X和Y的熵，可以用边缘概率计算得到：

H(X) = -[(1/2)log2(1/2) + (1/2)log2(1/2)] = 1

H(Y) = -[(7/16)log2(7/16) + (9/16)log2(9/16)] ≈ 0.992

H(Y|X) = ∑P(x)H(Y|X=x)

H(Y|X=雨) = -[(1/8)log2(1/8) + (7/8)log2(7/8)] ≈ 0.544

H(Y|X=无雨) = -[(1/16)log2(1/16) + (15/16)log2(15/16)] ≈ 0.131

因此，

I(X;Y) = 1 - 0.544(1/8) - 0.131(7/8) ≈ 0.21

最后，如果天气预报总预报无雨，则条件概率变为：

P(y=无雨|x) = 1，P(y=雨|x) = 0

此时，气象预报的准确率为：

P(y=无雨|x) = 1，P(y=雨|x) = 0

信息量为：

I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) - H(X|Y=y=无雨)

H(X|Y=y=无雨) = -[(3/16)log2(3/16) + (13/16)log2(13/16)] ≈ 0.845

因此，

气象预报准确率为1，信息量为：

I(X;Y) = 1 - 0.845 ≈ 0.155