对数正态分布极大似然估计

对数正态分布的概率密度函数为：

$f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

其中，$\mu$和$\sigma$分别为对数正态分布的均值和标准差。对于给定的样本数据$x_1,x_2,...,x_n$，其似然函数为：

$L(\mu,\sigma)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\mu,\sigma)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{x_i\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

对数似然函数为：

$\ln L(\mu,\sigma)=\sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\mu,\sigma)=\sum_{i=1}^n[-\ln(x_i\sigma\sqrt{2\pi})-\frac{(\ln x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}]$

极大似然估计的目标是最大化对数似然函数，即：

$\underset{\mu,\sigma}{\operatorname{argmax}} \ln L(\mu,\sigma)$

可以通过求解偏导数等于0的方程组来求解最大似然估计的参数。具体来说，对数似然函数分别对$\mu$和$\sigma$求偏导数，并令其等于0，得到以下方程组：

$\begin{cases}
\frac{\partial \ln L(\mu,\sigma)}{\partial \mu}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(\ln x_i-\mu)=0 \\\\
\frac{\partial \ln L(\mu,\sigma)}{\partial \sigma}=-\frac{n}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^3}\sum_{i=1}^n(\ln x_i-\mu)^2=0
\end{cases}$

通过求解上述方程组，可以得到对数正态分布的极大似然估计值：

$\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln x_i$

$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\ln x_i-\hat{\mu})^2}$

其中，$\hat{\mu}$和$\hat{\sigma}$分别为对数正态分布的均值和标准差的极大似然估计值。