设x(t)=u(t)-u(t-1), h(t)=x(t)*x(t)。为了与近似计算的结果作比较， (1)用解析法求出y(t)=x(t)*h(t)

根据卷积的定义，可以得到：

y(t) = (x * h)(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ

其中，h(t) = x(t)*x(t) = (u(t)-u(t-1))*(u(t)-u(t-1)) = u(t)*u(t) - 2*u(t)*u(t-1) + u(t-1)*u(t-1)

将h(t)代入y(t)的式子中，得到：

y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ = ∫[u(τ)-u(τ-1)][u(t-τ)*u(t-τ) - 2*u(t-τ)*u(t-τ-1) + u(t-τ-1)*u(t-τ-1)]dτ

对上式进行分段讨论：

当τ <= t-1时，有u(t-τ) = 1，u(t-τ-1) = 0，得到：

y(t) = ∫[u(τ)-u(τ-1)]u(t-τ)*u(t-τ)dτ = ∫u(τ)*u(t-τ)dτ

当t-1 < τ <= t时，有u(t-τ) = u(t)，u(t-τ-1) = 1，得到：

y(t) = -2∫[u(τ)-u(τ-1)]u(t-τ)*u(t-τ-1)dτ = -2∫u(t-τ)*u(t-τ-1)dτ

当τ > t时，有u(t-τ) = 0，u(t-τ-1) = -1，得到：

y(t) = ∫[u(τ)-u(τ-1)]u(t-τ-1)*u(t-τ-1)dτ = ∫u(τ-1)*u(t-τ-1)dτ

综合以上三种情况，可以得到：

y(t) = ∫u(τ)*u(t-τ)dτ - 2∫u(t-τ)*u(t-τ-1)dτ + ∫u(τ-1)*u(t-τ-1)dτ

对于第一项，可以将u(τ)*u(t-τ)表示为u(τ)*u(t) - u(τ)*u(t-1)，得到：

∫u(τ)*u(t-τ)dτ = ∫u(τ)*u(t)dτ - ∫u(τ)*u(t-1)dτ = t - (t-1) = 1

对于第二项，可以将u(t-τ)*u(t-τ-1)表示为u(t)*[u(τ)-u(τ-1)]*u(τ-1)，得到：

∫u(t-τ)*u(t-τ-1)dτ = u(t)*∫[u(τ)-u(τ-1)]u(τ-1)dτ = u(t)

对于第三项，可以将u(τ-1)*u(t-τ-1)表示为u(t-1)*u(t) - u(τ)*u(t) - u(t-1)*u(τ-1) + u(τ)*u(τ-1)，得到：

∫u(τ-1)*u(t-τ-1)dτ = (t-1)*1 - t*(t-1)/2 - (t-1)*1 + t*(t-1)/2 = 1/2

综合以上三项，得到：

y(t) = 1 - 2*u(t) + 1/2 = 1/2 - 2*u(t)

因此，解析法求出的y(t)为：

y(t) = 1/2 - 2*u(t)