Weierstrass-Mandelbort函数
时间: 2024-05-24 16:13:02 浏览: 8
Weierstrass-Mandelbrot函数是一个连续但不可微的函数,它由Karl Weierstrass和Benoit Mandelbrot分别独立发现。它的定义如下:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n\pi x)$$
其中 $0 < a < 1$,$b$ 是一个大于 $1$ 的奇数。这个函数在每个点处都是连续的,但是它没有导数。这是因为在每个点处它的斜率无限地变化,因此它不会在任何点处取得一个有限的斜率。
Weierstrass-Mandelbrot函数在分形几何中扮演了重要的角色,因为它具有自相似性。这意味着,如果你把它的一部分放大,你会发现它看起来和整个函数很相似。此外,这个函数还具有分形维数,这是一种量化函数的复杂性的方法。
虽然Weierstrass-Mandelbrot函数看起来非常复杂,但它有一些有趣的数学性质。例如,它是一个周期函数,其周期为 $1/b$。此外,如果 $a$ 足够小,那么这个函数将在几乎所有的点上都是连续可微的。
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