推导中点法解微分方程的稳定性区间

中点法是一种常用的数值解微分方程的方法，其稳定性区间可以通过推导得到。

考虑使用中点法求解一阶常微分方程：

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$

其中点法的迭代公式为：

$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(x_n,y_n))$$

其中，$h$为步长，$x_n$和$y_n$为第$n$步的$x$和$y$的近似值。

现在考虑对该迭代公式进行线性稳定性分析。假设方程的解为$y(x)$，将其近似为：

$$y_n=y(x_n)+\epsilon_n$$

其中，$\epsilon_n$为$n$步的误差。将其代入迭代公式，得到：

$$\epsilon_{n+1}=\frac{h}{2}(f_x+f_yf)h\epsilon_n$$

其中，$f_x$和$f_y$分别为$f(x,y)$对$x$和$y$的一阶偏导数。假设$\lambda$为特征值，则有：

$$\epsilon_{n+1}=\left(1+\frac{h}{2}\lambda+\frac{1}{2}(\frac{h}{2}\lambda)^2+\cdots\right)\epsilon_n$$

使用等比数列求和公式，得到：

$$\epsilon_{n+1}=\left(1+\frac{h}{2}\lambda+\frac{1}{2}(\frac{h}{2}\lambda)^2+\cdots+\frac{1}{2^n}(\frac{h}{2}\lambda)^n\right)\epsilon_0$$

当$|\frac{h}{2}\lambda|<1$时，上式右边的括号内的项的和是有限的，因此误差$\epsilon_n$会逐渐减小，中点法是稳定的。当$|\frac{h}{2}\lambda|\geq 1$时，上式右边的括号内的项的和是无限的，因此误差$\epsilon_n$会发散，中点法是不稳定的。

因此，中点法的稳定性区间为：

$$|\frac{h}{2}\lambda|<1$$

或者等价地，

$$-\frac{2}{h}<\operatorname{Re}(\lambda)<\frac{2}{h}$$

其中，$\operatorname{Re}(\lambda)$为特征值的实部。这就是中点法的稳定性区间。