Gauss Elimination through pivoting的优点缺点

Gauss消元法通过枢轴元的选取来消元，其优点是可以有效避免舍入误差的积累，从而提高计算精度；缺点是在选取枢轴元时需要进行比较和交换，计算复杂度较高，并且该方法只能用于求线性方程组的解，不能用于其他数值计算。

相关问题

Gauss Elimination的优点缺点

Gauss消元法的优点是可以快速有效地求解线性方程组，可以用于实现高效的矩阵运算，并且数值稳定性较好。缺点是当系数矩阵的元素很大或很小，或者系数矩阵具有弱对角性时，该方法可能会出现舍入误差或数值不稳定的问题。

高斯消元法(Gauss Elimination)【超详解&模板】

高斯消元法是一种线性代数中求解线性方程组的常用方法，它通过一系列的行变换将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而求出方程组的解。

下面我们来详细介绍高斯消元法的步骤：

1. 将增广矩阵写成一个矩阵形式：$$\left[\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n \\\end{array}\right]$$

2. 选择第一列系数最大的行作为第一步的主元素所在的行，将该行移到第一行。

3. 通过消元操作将第一列的其他元素变成零。具体地，对于第 $i$ 行，我们将其乘以一个系数 $m_i$ 加到第一行上，使得第一行的第 $i$ 个元素变成零。需要注意的是，系数 $m_i$ 的取值为：$$m_i = -\frac{a_{i1}}{a_{11}}$$

4. 将第二列系数最大的行作为第二步的主元素所在的行，将该行移到第二行。

5. 通过消元操作将第二列的其他元素变成零。具体地，对于第 $i$ 行，我们将其乘以一个系数 $m_i$ 加到第二行上，使得第二行的第 $i$ 个元素变成零。需要注意的是，系数 $m_i$ 的取值为：$$m_i = -\frac{a_{i2}}{a_{22}}$$

6. 重复上述步骤，直到将增广矩阵转化为上三角矩阵。此时，方程组的解可以通过回代得到。

7. 回代过程：从最后一行开始，依次求解每个未知量。具体地，对于第 $i$ 个未知量，我们先将第 $i$ 行的解代入第 $i$ 个方程中，然后依次代入已知的第 $i+1$ 到第 $n$ 个未知量的解，得到第 $i$ 个未知量的解。

下面是高斯消元法的代码实现：

const double eps = 1e-8;

int gauss(vector<vector<double>>& a, vector<double>& b) {
    int n = a.size();
    int m = a[0].size() - 1;

    vector<int> p(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        p[i] = i;
    }

    for (int k = 0; k < m; k++) {
        int pivot = k;
        for (int i = k; i < n; i++) {
            if (abs(a[i][k]) > abs(a[pivot][k])) {
                pivot = i;
            }
        }
        swap(a[pivot], a[k]);
        swap(b[pivot], b[k]);
        if (abs(a[k][k]) < eps) {
            return -1;
        }

        for (int i = k + 1; i < n; i++) {
            double f = a[i][k] / a[k][k];
            b[i] -= f * b[k];
            for (int j = k; j < m; j++) {
                a[i][j] -= f * a[k][j];
            }
        }
    }

    vector<double> x(m);
    for (int k = m - 1; k >= 0; k--) {
        x[k] = b[k];
        for (int i = k + 1; i < m; i++) {
            x[k] -= a[k][i] * x[i];
        }
        x[k] /= a[k][k];
    }

    return 0;
}

其中，输入参数为一个 $n \times (m+1)$ 的增广矩阵 $A$ 和一个长度为 $n$ 的向量 $b$，输出为 $0$ 或者 $-1$，表示方程组有唯一解或者无解，解存储在长度为 $m$ 的向量 $x$ 中。

需要注意的是，为了防止精度误差，我们在进行消元操作时，如果某个数的绝对值小于一个极小值 $\epsilon$，则将其视为零。