动态规划最长公共子序列的原理

动态规划最长公共子序列的原理如下：
1. 首先，我们定义两个字符串s1和s2，它们的长度分别为m和n。
2. 然后，我们创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示s1的前i个字符和s2的前j个字符之间的最长公共子序列的长度。
3. 接下来，我们需要填充这个二维数组。具体地，我们可以按照以下方式递推计算dp数组的值：
- 当i=0或j=0时，dp[i][j]=0，因为一个空字符串和任何字符串的最长公共子序列的长度都为0。
- 当s1[i-1]=s2[j-1]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，因为s1的前i个字符和s2的前j个字符之间的最长公共子序列的长度等于s1的前i-1个字符和s2的前j-1个字符之间的最长公共子序列的长度加上1。
- 当s1[i-1]!=s2[j-1]时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，因为s1的前i个字符和s2的前j个字符之间的最长公共子序列的长度等于s1的前i-1个字符和s2的前j个字符之间的最长公共子序列的长度和s1的前i个字符和s2的前j-1个字符之间的最长公共子序列的长度的较大值。
4. 最后，我们可以通过回溯dp数组来找出最长公共子序列。具体地，我们从dp[m][n]开始，如果s1[i-1]=s2[j-1]，则将s1[i-1]加入到最长公共子序列中，并向左上角移动一格；否则，如果dp[i-1][j]>dp[i][j-1]，则向上移动一格，否则向左移动一格，直到回溯到dp为止。

相关问题

最长公共子序列问题算法原理

最长公共子序列问题是指在两个序列中找到一个最长的公共子序列。其中，子序列是指在原序列中删除任意个元素后得到的新序列。例如，序列“ABCD”和“BDCA”的最长公共子序列是“BD”，长度为2。

动态规划算法是解决最长公共子序列问题的常用方法。该算法的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，再逐步推导出原问题的解。具体来说，动态规划算法包括以下步骤：

1. 定义状态：定义状态表示原问题和子问题的解。

2. 初始化状态：初始化状态的值，通常是将状态数组的第一行和第一列初始化为0。

3. 状态转移方程：根据子问题之间的关系，推导出状态转移方程。

4. 计算状态：按照状态转移方程计算状态数组的值。

5. 输出结果：根据状态数组的值，输出原问题的解。

例如，对于序列“ABCD”和“BDCA”，可以定义状态dp[i][j]表示序列1的前i个元素和序列2的前j个元素的最长公共子序列长度。则状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 (当序列1的第i个元素等于序列2的第j个元素时)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (当序列1的第i个元素不等于序列2的第j个元素时)

最终，dp[m][n]即为序列1和序列2的最长公共子序列长度，其中m和n分别为序列1和序列2的长度。

动态规划最长公共序列 java

动态规划最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）的 Java 实现可以使用二维数组来解决。下面是一个示例代码：

public class LongestCommonSubsequence {
    public static int lcs(String str1, String str2) {
        int m = str1.length();
        int n = str2.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j] = 0;
                } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        
        return dp[m][n];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        String str1 = "ABCD";
        String str2 = "ACDF";
        
        int result = lcs(str1, str2);
        System.out.println("最长公共子序列的长度为: " + result);
    }
}

上述代码中，我们使用了一个二维数组 `dp` 来保存每个子问题的最优解。通过两个嵌套的循环遍历字符串 `str1` 和 `str2` 的所有可能的子序列，根据动态规划的原理，逐步计算出最长公共子序列的长度。最后返回 `dp[m][n]`，即为最长公共子序列的长度。

在上述示例中，我们计算了字符串 "ABCD" 和 "ACDF" 的最长公共子序列的长度，输出结果为 3。