证明密度矩阵是厄密矩阵

密度矩阵是量子力学中描述微观系统状态的一种数学工具，它是一个Hermitian（共轭复数对称）矩阵，也被称为厄密矩阵。Hermitian性质意味着对于密度矩阵中的每一个元素 \( \rho_{ij} \)，它的共轭复数 \( \rho^*_{ji} \) 就是其对应位置的元素，即 \( \rho_{ij} = \rho^*_{ji} \)。

这个性质可以从量子力学的基本原理推导出来。在量子力学中，概率幅必须是实数，而密度矩阵的每个元素代表了一个可观测量的期望值，其模平方给出了该状态下观测到特定结果的概率。因此，对于任意一组正交归一化的状态向量 \( |i\rangle \)，它们满足：

\[ \langle i| \hat{\rho}| j \rangle = p_i \delta_{ij} \]

其中 \( \hat{\rho} \) 是密度矩阵，\( p_i \) 是第 \( i \) 个状态的概率，\( \delta_{ij} \) 是 Kronecker 符号，表示当 \( i=j \) 时为 1，否则为 0。由于 \( p_i \) 实部等于 \( p_i^* \)，所以对密度矩阵迹（所有主对角线元素之和，等于1）取共轭就得到原迹，这确保了矩阵是对称的，即密度矩阵是厄密矩阵。