求f(x)=x-2y+2z在x^2+y^2+z^2=1下的极小值
时间: 2023-09-10 12:13:44 浏览: 36
我们可以使用拉格朗日乘数法来求解这个问题。首先,我们需要构造拉格朗日函数:
L(x,y,z,\lambda)=x-2y+2z+\lambda(1-x^2-y^2-z^2)
然后,我们需要求解以下方程组:
\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x=0
\frac{\partial L}{\partial y}=-2-2\lambda y=0
\frac{\partial L}{\partial z}=2-2\lambda z=0
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-x^2-y^2-z^2=0
解得:
x=\frac{1}{\sqrt{6}},y=-\frac{1}{\sqrt{6}},z=\frac{2}{\sqrt{6}},\lambda=\frac{\sqrt{6}}{6}
将这些值代入原函数,得到:
f(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}})=\frac{3}{\sqrt{6}}
因此,f(x,y,z)在x^2+y^2+z^2=1下的极小值为3/√6。
相关问题
求z^x-y^z+2x=0的偏导数
根据链式法则,对于函数f(x,y,z) = z^x - y^z,有:
∂f/∂x = z^x * ln(z)
∂f/∂y = -z^y * ln(y)
∂f/∂z = x*z^(x-1) - y^z * ln(z)
对于2x=0,即x=0,代入偏导数公式中可得:
∂f/∂x = z^0 * ln(z) = ln(z)
∂f/∂y = -z^y * ln(y)
∂f/∂z = 0 - y^z * ln(z) = -y^z * ln(z)
因此,2x=0时的偏导数为:
∂f/∂x = ln(z)
∂f/∂y = -z^y * ln(y)
∂f/∂z = -y^z * ln(z)
matlab中如何求z=(x-y+1)^2函数的极值
可以使用MATLAB中的syms和solve函数来求解。具体的步骤如下:
1. 声明符号变量x和y:
```matlab
syms x y
```
2. 定义函数z:
```matlab
z = (x - y + 1)^2;
```
3. 求z对x和y的偏导数:
```matlab
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
```
4. 解出偏导数为0的x和y:
```matlab
sol = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0, x, y);
```
5. 求解出来的x和y代入z中得到极值:
```matlab
z_min = subs(z, [x, y], [sol.x, sol.y])
```
其中,z_min就是函数z的极小值。如果要求极大值,只需要把z取负号即可。