求f(x)=x-2y+2z在x^2+y^2+z^2=1下的极小值

我们可以使用拉格朗日乘数法来求解这个问题。首先，我们需要构造拉格朗日函数：

L(x,y,z,\lambda)=x-2y+2z+\lambda(1-x^2-y^2-z^2)

然后，我们需要求解以下方程组：

\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x=0

\frac{\partial L}{\partial y}=-2-2\lambda y=0

\frac{\partial L}{\partial z}=2-2\lambda z=0

\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-x^2-y^2-z^2=0

解得：

x=\frac{1}{\sqrt{6}},y=-\frac{1}{\sqrt{6}},z=\frac{2}{\sqrt{6}},\lambda=\frac{\sqrt{6}}{6}

将这些值代入原函数，得到：

f(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}})=\frac{3}{\sqrt{6}}

因此，f(x,y,z)在x^2+y^2+z^2=1下的极小值为3/√6。