一根长度为1000的绳子，把绳子剪成m段，每段长度均为整数，记为L[1]、L[2]、...、L[m]。 求L[1]*L[2]*...*L[m]的最大乘积。答案对1000000007取模。 m必须大于1，没有其他约束。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用DP来解决。定义一个数组dp[i]表示将长度为i的绳子剪成若干段后的最大乘积，初始值为1。然后，对于每个i，枚举j从1到i-1，将绳子剪成长度为j和i-j两段，计算它们的乘积，如果这个乘积大于dp[i]，则更新dp[i]的值。最终，dp[1000]就是所求的答案。

以下是代码实现：

const int MOD = 1000000007;
int dp[1001];

int main() {
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 1000; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
dp[i] = max(dp[i], (long long)j * (i - j) * dp[i - j] % MOD);
}
}
cout << dp[1000] << endl;
return 0;
}

相关问题

给定一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成 m 段（m、n 都是整数，n>1 并且 m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1],…,k[m]。请问 k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？

这是一道经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。

首先，我们可以将问题转化为：给定一个长度为 n 的绳子，将其分成若干段，使得每段的长度乘积最大。

假设我们将绳子分成了两段，长度分别为 i 和 n-i。那么，这两段绳子的最大乘积为：

max_product(i) * max_product(n-i)

其中，max_product(i) 表示长度为 i 的绳子分成若干段后每段长度乘积的最大值。

因此，我们可以得到状态转移方程：

max_product(n) = max{max_product(i) * max_product(n-i)} (1 <= i <= n/2)

其中，max_product(1) = 0，max_product(2) = 1。

最终，我们需要求的是 max_product(n)。

下面是 Python 代码实现：

def max_product(n):
    if n == 1:
        return 0
    if n == 2:
        return 1
    dp = [0] * (n+1)
    dp[1] = 0
    dp[2] = 1
    for i in range(3, n+1):
        for j in range(1, i//2+1):
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i-j])
    return dp[n]

时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），每段绳子的长度记为 k[1],...,k[m] 。请问 k[1]*k[2]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？用java代码写出

### 回答1：
这是一道经典的动态规划问题，被称为剪绳子问题。其实质是要求把一根绳子剪成多段，使得每段长度的乘积最大。

假设绳子长度为n，我们可以定义一个数组dp，其中dp[i]表示把长度为i的绳子剪成若干段后得到的最大乘积。显然dp[1]为0，dp[2]为1（因为长度为2的绳子只能剪成1和1两段，乘积为1）。

接下来考虑如何递推求解dp数组。我们可以枚举第一段绳子剪成的长度j（1 <= j < i），那么剩下的长度为i-j，我们可以选择继续剪或不剪，取最大值即可。因此状态转移方程为：

dp[i] = max{max(j, dp[j]) * max(i-j, dp[i-j])}，其中1 <= j < i

最终dp[n]就是所求的答案。

下面是Java代码实现：

public int maxProductAfterCutting(int n) {
    if (n < 2) return 0;
    if (n == 2) return 1;
    int[] dp = new int[n+1];
    dp[1] = 0;
    dp[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j, dp[j]) * Math.max(i-j, dp[i-j]));
        }
    }
    return dp[n];
}

### 回答2：
为了找到最大乘积，我们可以使用动态规划的方法解决这个问题。

首先，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示长度为i的绳子能够得到的最大乘积。

接下来，我们可以根据绳子的长度从小到大进行遍历，计算每个长度能够得到的最大乘积。

对于长度为i的绳子，我们可以选择将其剪成m段，其中m的取值为2到i-1。对于每个m，我们可以将绳子剪成两段，其中一段的长度为m，另一段的长度为i-m。然后，我们可以计算这两段绳子的乘积，并与之前得到的dp[i]进行比较，将较大的结果存入dp[i]。

最后，当遍历完成后，dp[n]的值就是长度为n的绳子能够得到的最大乘积。

以下是用Java代码实现的具体解决方案：

public static int maxProductAfterCutting(int length) {
    if (length < 2) {
        return 0;
    }
    if (length == 2) {
        return 1;
    }
    if (length == 3) {
        return 2;
    }
    int[] dp = new int[length+1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;
    for (int i = 4; i <= length; i++) {
        for (int j = 1; j <= i/2; j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] * dp[i-j]);
        }
    }
    return dp[length];
}

public static void main(String[] args) {
    int length = 8;
    int maxProduct = maxProductAfterCutting(length);
    System.out.println("长度为" + length + "的绳子能够得到的最大乘积是：" + maxProduct);
}

以上代码中，我们通过调用`maxProductAfterCutting`方法并传入绳子的长度，即可得到最大乘积。

### 回答3：
要求将绳子剪成整数段，使得乘积最大。假设绳子的长度为n，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示将绳子剪成i段时的最大乘积。

那么dp[2] = 1，dp[3] = 2，dp[4] = 4，dp[5] = 6，dp[6] = 9，dp[7] = 12...

我们可以看到，当长度大于等于4时，可以将绳子剪成两段或更多。而对于长度为2和3的绳子，不能再剪了，直接返回长度即可。

那么我们可以得到递推式：

dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j))

其中，j的取值范围为1到i/2。意思是将绳子剪成j段和i-j段，然后分别求它们的最大乘积的乘积。

根据上述递推式，我们可以写出以下的Java代码来求解最大乘积：

public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if(target <= 1) {
            return 0;
        }
        if(target == 2) {
            return 1;
        }
        if(target == 3) {
            return 2;
        }
        
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        
        for(int i = 4; i <= target; i++) {
            int max = 0;
            for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
                int product = dp[j] * dp[i - j];
                if(product > max) {
                    max = product;
                }
            }
            dp[i] = max;
        }
        
        return dp[target];
    }
}