假设有一个 32 位字长的机器，即该机器中 1 个字为 32bit，其主存容量为 256K 字节， Cache 容量为 2K 字节，块长为 4 字，按字寻址，请设计 Cache 地址格式，给出详细的 步骤和思路：(a) 在直接映射方式下，设计并画出主存地址格式，并给出 Tag, Index 和 Offset 的 bit 位 (b) 在四路组相联映射方式下，设计并画出主存地址格式，并给出 Tag, Index 和 Offset 的 bit 位 (c) 在全相联映射方式下，设计并画出主存地址格式，并给出 Tag, 和 Offset 的 bit 位

(a) 在直接映射方式下：

Cache 容量为 2K 字节，块长为 4 字，即共有 2^9 个块，每块 4 个字。主存容量为 256K 字节，即共有 2^15 个字。

主存地址格式：

| 15 ~ 5 | 4 ~ 2 | 1 ~ 0 |
|  Tag   | Index | Offset|

其中，Tag 占用 11 位，Index 占用 3 位，Offset 占用 2 位。

Cache 地址格式：

| 11 ~ 2 | 1 ~ 0 |
|  Tag   | Offset|

其中，Tag 占用 10 位，Offset 占用 2 位。

步骤和思路：

将主存地址分成三部分：Tag、Index 和 Offset。Tag 用于标识该块的唯一性，Index 用于确定该块在 Cache 中的位置，Offset 用于确定该字在块中的位置。

在直接映射方式下，一个主存块只能映射到 Cache 中的一个固定位置，即 Index 的值对应 Cache 中的位置。因此，Index 的位数为 log2( Cache 容量 / 块长 ) = 9 - 2 = 7，即可以表示 2^7 个不同的 Cache 块。同时，Offset 的位数为 log2( 块长 ) = log2( 4 ) = 2，即可以表示 4 个不同的字节。剩下的位数则用于表示 Tag。

(b) 在四路组相联映射方式下：

Cache 容量为 2K 字节，块长为 4 字，即共有 2^9 个块，每块 4 个字。主存容量为 256K 字节，即共有 2^15 个字。

主存地址格式：

| 15 ~ 5 | 4 ~ 4 | 3 ~ 2 | 1 ~ 0 |
|  Tag   | Index | Group | Offset|

其中，Tag 占用 11 位，Index 占用 1 位，Group 占用 2 位，Offset 占用 2 位。

Cache 地址格式：

| 7 ~ 2 | 1 ~ 0 |
| Index | Offset|

其中，Index 占用 6 位，Offset 占用 2 位。

步骤和思路：

将主存地址分成四部分：Tag、Index、Group 和 Offset。Tag 用于标识该块的唯一性，Index 用于确定该块在 Cache 中的组的位置，Group 用于确定该块在 Cache 中的哪一个组内，Offset 用于确定该字在块中的位置。

在四路组相联映射方式下，一个主存块可以映射到四个不同的 Cache 组中的任意一个位置。因此，Index 的位数为 log2( Cache 容量 / 块长 / 组相联度 ) = 9 - 2 - 2 = 5，即可以表示 2^5 个不同的 Cache 组。同时，Offset 的位数为 log2( 块长 ) = log2( 4 ) = 2，即可以表示 4 个不同的字节。剩下的位数则用于表示 Tag 和 Group。

(c) 在全相联映射方式下：

Cache 容量为 2K 字节，块长为 4 字，即共有 2^9 个块，每块 4 个字。主存容量为 256K 字节，即共有 2^15 个字。

主存地址格式：

| 15 ~ 4 | 3 ~ 0 |
|  Tag   | Offset|

其中，Tag 占用 12 位，Offset 占用 4 位。

Cache 地址格式：

| 7 ~ 0 |
| Offset|

其中，Offset 占用 8 位。

步骤和思路：

将主存地址分成两部分：Tag 和 Offset。Tag 用于标识该块的唯一性，Offset 用于确定该字在块中的位置。

在全相联映射方式下，一个主存块可以映射到 Cache 中的任意一个位置。因此，Offset 的位数为 log2( 块长 ) = log2( 4 ) = 2，即可以表示 4 个不同的字节。同时，Tag 的位数为总位数减去 Offset 的位数，即 32 - 2 = 30 位。由于 Cache 的容量为 2K 字节，共有 2^9 个块，因此每个块的大小为 2^5 个字，即 32 个字节。因此，Cache 中共有 2^6 个 Cache 块（2K / 32），可以表示 2^6 个不同的 Tag。