基于gsl的线性最小二乘拟合

线性最小二乘拟合是一种常见的数据拟合方法，可以用来拟合一组数据点到一个线性模型上。基于 GNU Scientific Library (GSL) 实现线性最小二乘拟合的步骤如下：

1. 定义数据点

假设我们有 $N$ 个数据点 $(x_i, y_i)$，其中 $i = 1, 2, \cdots, N$。

2. 定义线性模型

线性模型可以写成以下形式：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x$$

其中 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 是待拟合的参数。

3. 构建矩阵和向量

构建 $N \times 2$ 的矩阵 $X$ 和 $N$ 维向量 $Y$：

$$X = \begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_N \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_N \end{pmatrix}$$

4. 计算最小二乘解

最小化误差的平方和，可以得到最小二乘解：

$$\begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix} = (X^T X)^{-1} X^T Y$$

其中 $X^T$ 是 $X$ 的转置矩阵，$(X^T X)^{-1}$ 是 $(X^T X)$ 的逆矩阵。

5. 实现代码

以下是基于 GSL 实现线性最小二乘拟合的代码：

#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_matrix.h>
#include <gsl/gsl_vector.h>
#include <gsl/gsl_multifit.h>

int main(void)
{
    double x[] = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0};
    double y[] = {1.0, 3.0, 5.0, 7.0, 9.0, 11.0};

    int n = sizeof(x) / sizeof(double);

    gsl_matrix *X = gsl_matrix_alloc(n, 2);
    gsl_vector *Y = gsl_vector_alloc(n);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        gsl_matrix_set(X, i, 0, 1.0);
        gsl_matrix_set(X, i, 1, x[i]);
        gsl_vector_set(Y, i, y[i]);
    }

    gsl_vector *beta = gsl_vector_alloc(2);
    gsl_matrix *cov = gsl_matrix_alloc(2, 2);

    gsl_multifit_linear_workspace *work = gsl_multifit_linear_alloc(n, 2);
    gsl_multifit_linear(X, Y, beta, cov, &rms, work);
    gsl_multifit_linear_free(work);

    double beta0 = gsl_vector_get(beta, 0);
    double beta1 = gsl_vector_get(beta, 1);

    printf("beta0 = %.2f, beta1 = %.2f\n", beta0, beta1);

    gsl_matrix_free(X);
    gsl_vector_free(Y);
    gsl_vector_free(beta);
    gsl_matrix_free(cov);

    return 0;
}

在该代码中，我们先定义了 $x$ 和 $y$ 数组，然后根据数据点的个数构建了矩阵 $X$ 和向量 $Y$，接着调用 GSL 提供的线性最小二乘拟合函数 `gsl_multifit_linear` 计算最小二乘解，最后输出得到的参数 $\beta_0$ 和 $\beta_1$。