对GARCH（1,1）模型做参数的极大似然估计

GARCH(1,1)模型是用于分析金融时间序列波动性的常用模型。它的一般形式为：

$$y_t=\mu+\epsilon_t$$

$$\epsilon_t=\sigma_tz_t$$

$$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2$$

其中，$y_t$表示时间序列的观测值，$\mu$是常数项，$\epsilon_t$是白噪声序列，$z_t$符合标准正态分布，$\sigma_t$是时间$t$的波动率，$\alpha_0,\alpha_1,\beta_1$是待估参数。

GARCH(1,1)模型的参数可以通过极大似然估计来求解。假设有$n$个观测值$y_1,y_2,\dots,y_n$，则似然函数为：

$$L(\theta|y_1,y_2,\dots,y_n)=\prod_{t=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}exp\left(-\frac{(y_t-\mu)^2}{2\sigma_t^2}\right)$$

其中$\theta=(\mu,\alpha_0,\alpha_1,\beta_1)$是待估参数。

对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$$\ln L(\theta|y_1,y_2,\dots,y_n)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-\sum_{t=1}^n\ln\sigma_t-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^n\frac{(y_t-\mu)^2}{\sigma_t^2}$$

为了求解最大似然估计，我们需要对对数似然函数求偏导数，并令其等于0。由于对数似然函数中涉及到$\sigma_t$，因此我们需要先通过GARCH(1,1)模型的迭代公式求出$\sigma_t$，然后再带入对数似然函数中求偏导数。

首先，我们可以通过初始值来迭代计算$\sigma_t$，具体迭代公式为：

$$\sigma_1^2=\frac{\epsilon_1^2}{1-\alpha_1-\beta_1}$$

$$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2,\quad t=2,3,\dots,n$$

其中$\epsilon_1=y_1-\mu$。

然后，我们将上述迭代公式带入对数似然函数中，求偏导数：

$$\frac{\partial \ln L(\theta|y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial \mu}=\sum_{t=1}^n\frac{y_t-\mu}{\sigma_t^2}$$

$$\frac{\partial \ln L(\theta|y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial \alpha_0}=-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^n\frac{1}{\sigma_t^2}$$

$$\frac{\partial \ln L(\theta|y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial \alpha_1}=-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^n\frac{\epsilon_{t-1}^2}{\sigma_t^2}+\frac{1}{2}\sum_{t=1}^n\frac{\epsilon_{t-1}^2}{\sigma_t^4}\sigma_{t-1}^2$$

$$\frac{\partial \ln L(\theta|y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial \beta_1}=-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^n\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_t^2}+\frac{1}{2}\sum_{t=1}^n\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_t^4}\sigma_{t-1}^2$$

接下来，我们可以使用数值优化算法，如牛顿法或梯度下降法，来求解上述偏导数等于0的方程组，从而得到最大似然估计值。