阻抗矩阵[8 1 1;1 8 1;1 1 8]怎么分解为三相阻抗
时间: 2024-01-24 11:19:13 浏览: 35
要将阻抗矩阵分解为三相阻抗,需要进行对称分解。对称分解的基本思想是,将阻抗矩阵分解为对称矩阵(例如,阻抗矩阵的实部和虚部构成的矩阵是对称矩阵),然后再将对称矩阵分解为三个矩阵,每个矩阵代表一个相的阻抗。
首先,将阻抗矩阵写成实部和虚部的形式:
$$
\begin{bmatrix}
8 & 1 & 1 \\
1 & 8 & 1 \\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8 & 1 & 1 \\
1 & 8 & 1 \\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}_{\text{Real}}
+
j
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{\text{Imag}}
$$
其中,实部矩阵是对称矩阵,虚部矩阵是零矩阵(因为该阻抗矩阵不含有纯虚的阻抗)。
接下来,对实部矩阵进行对称分解。对称分解的方法有很多种,这里使用 Cholesky 分解:
$$
\begin{bmatrix}
8 & 1 & 1 \\
1 & 8 & 1 \\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}_{\text{Real}}
=
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 8/9 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 8/9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2/3 \\
0 & 0 & 2/3
\end{bmatrix}
$$
其中,第一个矩阵是下三角矩阵,第三个矩阵是上三角矩阵,它们的乘积是一个对称矩阵。第二个矩阵是对角矩阵,它的对角线元素是实部矩阵的特征值。
最后,将上述矩阵中的对角线元素开根号,即可得到每个相的阻抗:
$$
\begin{aligned}
Z_a &= \sqrt{1} = 1 \\
Z_b &= \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \\
Z_c &= \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{aligned}
$$
因此,该阻抗矩阵的三相阻抗为 $Z_a = 1$,$Z_b = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,$Z_c = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
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