最长公共子序列动态规划

最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，其可以用于解决两个字符串之间的相似度、DNA序列匹配等问题。最长公共子序列问题的定义是：给定两个字符串 S 和 T，求它们的最长公共子序列的长度。

动态规划的核心思想是将大问题拆分成小问题，并且将小问题的解保存下来，以便在需要时可以直接使用。对于最长公共子序列问题，我们可以使用一个二维数组 dp 来保存最长公共子序列的长度。其中 dp[i][j] 表示 S 的前 i 个字符和 T 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。

那么如何计算 dp[i][j] 呢？根据最长公共子序列的定义，我们可以分为两种情况：

1. S[i] == T[j]，说明当前字符可以作为最长公共子序列的一部分，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

2. S[i] != T[j]，说明当前字符不可能作为最长公共子序列的一部分，因此 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

最终的结果即为 dp[m][n]，其中 m 和 n 分别为字符串 S 和 T 的长度。

下面是最长公共子序列问题的动态规划实现代码：

相关问题

最长公共子序列 动态规划

最长公共子序列问题是指给定两个字符串，找出它们之间的最长公共子序列。子序列是指从原序列中删除若干个元素后得到的新序列，而不必要求删除的元素是连续的。

动态规划是一种解决最长公共子序列问题的有效方法。其基本思想是：设字符串A和B的长度分别为m和n，用L(i,j)表示A的前i个字符与B的前j个字符的最长公共子序列的长度，则有以下递推式：

L(i,j) = 0 (i=0或j=0)
L(i,j) = L(i-1,j-1) + 1 (A[i]=B[j])
L(i,j) = max{L(i-1,j),L(i,j-1)} (A[i]!=B[j])

其中，第一行表示当其中一个字符串为空时，它们之间的最长公共子序列长度为0；第二行表示当A[i]和B[j]相等时，最长公共子序列的长度可以在A的前i-1个字符和B的前j-1个字符的最长公共子序列长度上加1；第三行表示当A[i]和B[j]不相等时，最长公共子序列的长度要么在A的前i-1个字符和B的前j个字符的最长公共子序列长度上，要么在A的前i个字符和B的前j-1个字符的最长公共子序列长度上，取其中的最大值。

最终，L(m,n)即为A和B之间的最长公共子序列的长度。由于需要记录每个子问题的结果，因此需要使用一个二维数组来保存L(i,j)的值。

最长公共子序列动态规划算法

最长公共子序列问题是指在两个序列中找到一个最长的公共子序列，可以使用动态规划算法来解决。下面是最长公共子序列动态规划算法的伪代码：

function LCSLength(X[1..m], Y[1..n])
    C = array(0..m, 0..n)
    for i := 0..m
        C[i,0] = 0
    for j := 0..n
        C[0,j] = 0
    for i := 1..m
        for j := 1..n
            if X[i] = Y[j]
                C[i,j] := C[i-1,j-1] + 1
            else
                C[i,j] := max(C[i,j-1], C[i-1,j])
    return C[m,n]

上面的算法中，X和Y分别是两个序列，C是一个二维数组。算法通过一个循环来计算C数组中的所有元素。如果X[i]等于Y[j]，则C[i,j]等于C[i-1,j-1]+1，否则C[i,j]等于C[i-1,j]和C[i,j-1]中的较大值。最终返回C[m,n]，即X和Y的最长公共子序列的长度。

需要注意的是，上面的算法只能求出最长公共子序列的长度，如果需要求出子序列本身，需要使用回溯算法。