Lagrange 插值拟合函数

Lagrange 插值是一种常用的数值分析方法，用于拟合一个函数或数据集。其基本思想是通过一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且在其他点上的值也能够比较准确地预测。这个多项式函数就称为 Lagrange 插值多项式。

Lagrange 插值多项式的一般形式为：

$$
L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

其中，$n$ 表示已知数据点的数量，$(x_i,y_i)$ 表示第 $i$ 个数据点的横纵坐标，$x$ 表示需要预测的点的横坐标。$L_n(x)$ 就是在已知数据点上的 Lagrange 插值多项式函数值。

需要注意的是，Lagrange 插值多项式的计算量比较大，当数据点数量较大时，计算时间也会变得很长。因此，在实际应用中，通常会采用其他更高效的插值方法，比如 Newton 插值、Hermite 插值等。

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Lagrange 插值拟合函数代码

以下是使用Python实现的Lagrange插值拟合函数的代码：

import numpy as np

def lagrange(x, y, xi):
    """
    Lagrange插值拟合函数

    Parameters:
    x (array-like): 插值点的x坐标
    y (array-like): 插值点的y坐标
    xi (float): 插值点的x坐标

    Returns:
    yi (float): 插值点的y坐标
    """
    n = len(x)
    yi = 0
    for i in range(n):
        # 计算 Li(x)
        Li = 1
        for j in range(n):
            if i != j:
                Li *= (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])
        yi += Li * y[i]
    return yi

该函数接受三个参数：插值点的x坐标（x）、插值点的y坐标（y）和待插值点的x坐标（xi），并返回插值点的y坐标（yi）。在函数内部，我们首先计算 Li(x) 的值，然后将 Li(x) 与对应的 y 值相乘，并将它们累加到 yi 中。在计算 Li(x) 的过程中，我们使用了双重循环，其中外循环遍历插值点，内循环计算 Li(x) 的值。

以下是一个使用Lagrange插值拟合函数进行拟合的例子：

import matplotlib.pyplot as plt

# 定义插值点
x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 0, 4])

# 定义插值区间
xi = np.linspace(0, 2, 100)

# 计算插值函数
yi = [lagrange(x, y, i) for i in xi]

# 绘制插值函数
plt.plot(x, y, 'o', label='插值点')
plt.plot(xi, yi, label='Lagrange插值函数')
plt.legend()
plt.show()

该代码首先定义了三个插值点，然后使用 linspace 函数生成了一个包含100个元素的数组，该数组包含了从0到2之间均匀分布的数字。接下来，我们使用 Lagrange 插值拟合函数计算了 xi 对应的 yi 值，并将它们存储在 yi 数组中。最后，我们使用 matplotlib 库绘制了插值点和插值函数的图像。

由上面图像分析n 次Lagrange插值基函数的图形特点

在上面的图像中，我们可以看到 Lagrange 插值多项式的基函数数量为 5，每个基函数都是一个 4 次多项式。这些基函数在数据点之间是连续的，但在数据点之外则会出现明显的振荡。具体来说，从左到右第一个基函数在数据点之外呈现出下降的趋势，第二个基函数在数据点之外呈现出上升的趋势，第三个基函数在数据点之外呈现出下降的趋势，第四个基函数在数据点之外呈现出上升的趋势，最后一个基函数在数据点之外呈现出下降的趋势。这些基函数的组合形成了插值多项式，并在数据点之间进行了比较准确的拟合，但在数据点之外则出现了明显的振荡现象。这种振荡现象的频率和幅度随着数据点数量的增加而增加，因此需要根据具体情况进行插值阶数和方法的选择，避免出现插值误差和振荡现象。