任意的x属于自然数; x1, x2, . . . , xn < k; x1 + x2 + · · · + xn = r，求解的个数

这个问题看起来有些抽象，不太好直接给出答案。下面我们将通过一个例子来解释它。

假设我们要求满足以下条件的x1, x2, x3的个数：

1. x1, x2, x3是自然数且都小于4；
2. x1 + x2 + x3 = 5。

首先我们可以列出所有可能的x1, x2, x3的组合：

(1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1)

接着我们可以将它们转换成r的形式：

(1, 1, 3) -> 1 * 1 * 3 = 3
(1, 2, 2) -> 1 * 2 * 2 = 4
(1, 3, 1) -> 1 * 3 * 1 = 3
(2, 1, 2) -> 2 * 1 * 2 = 4
(2, 2, 1) -> 2 * 2 * 1 = 4
(3, 1, 1) -> 3 * 1 * 1 = 3

可以发现，所有可能的组合在转换为r的形式后，可以归为三类：r=3的有两个，r=4的有三个，r=6的有一个。因此，满足条件的x1, x2, x3的个数就是3。

类似地，在一般情况下，我们可以将所有可能的x1, x2, . . . , xn的组合转换为r的形式，并统计每种r出现的次数。最后满足条件的x1, x2, . . . , xn的个数就等于r的种类数。

需要注意的是，r的范围是从x1x2 . . . xn到(k-1)x(k-1) . . . x(k-1)，因为x1, x2, . . . , xn都小于k。因此，当k较大时，可能需要使用程序来处理这个问题。