c++有N本书，排成一行。珂珂发现从前向后看，从第1本开始，间隔是3的书都是她喜欢的，也就是第1、4、7、10…本书。乐乐发现从后向前看，从最后一本开始，间隔是4的书都是他喜欢的。 请问有多少本书是他们共同爱好的？

我们可以使用“最小公倍数”来解决这个问题。

首先，我们需要找出满足条件的第一本书的下标，也就是最小的正整数 $n$，使得 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 且 $n \equiv 0 \pmod{4}$。可以发现，这个 $n$ 就是 $lcm(3, 4) = 12$。

接下来，我们可以列出一系列的方程：

\begin{aligned} x &\equiv n \pmod{3} \\ x &\equiv n-3 \pmod{3} \\ &\vdots \\ x &\equiv 1 \pmod{3} \\ x &\equiv 0 \pmod{4} \\ x &\equiv 4 \pmod{4} \\ &\vdots \\ x &\equiv 0 \pmod{4} \end{aligned}

其中，第一个方程表示 $x$ 和第一本书的间隔是 $3$，第二个方程表示 $x$ 和第四本书的间隔是 $3$，以此类推，直到最后一个方程表示 $x$ 和最后一本书的间隔是 $4$。

根据中国剩余定理，这个方程组有唯一解 $x$，满足 $1 \leq x \leq N$，其中 $N$ 是所有书的数量。因此，我们只需要检查 $x$ 和 $x-3$ 是否都是珂珂喜欢的书，以及 $x$ 和 $x-4$ 是否都是乐乐喜欢的书，即可确定有多少本书是他们共同爱好的。

注意到这个方程组中有很多重复的方程，我们可以使用扩展中国剩余定理来加速计算。具体来说，我们可以将方程组拆成两个子系统：

\begin{aligned} x &\equiv 1 \pmod{3} \\ x &\equiv 0 \pmod{4} \end{aligned}

和

\begin{aligned} x &\equiv 4 \pmod{3} \\ x &\equiv 0 \pmod{4} \end{aligned}

分别求出它们的唯一解 $x_1$ 和 $x_2$，然后使用扩展欧几里得算法求出一个特解 $x_0$ 和 $M$，满足 $x_0 \equiv x_1 \pmod{3 \cdot 4}$，$x_0 \equiv x_2 \pmod{3 \cdot 4}$，$M = lcm(3, 4)$。最后，我们可以得到方程组的通解：

$$ x \equiv x_0 + kM \pmod{3 \cdot 4} $$

其中 $k$ 是任意整数。我们只需要枚举 $k$，检查 $x$ 是否符合条件即可。时间复杂度为 $O(\log N)$。

综上所述，他们共同爱好的书的数量为 $\lfloor \frac{N-x_0}{M} \rfloor$。