正交变换法中的A矩阵怎么求

在正交变换法中，A矩阵是通过将原始向量组成的矩阵X乘以正交变换矩阵Q得到的，即A = QX。因此，要求A矩阵，需要先确定原始向量组成的矩阵X以及使用的正交变换矩阵Q。

正交变换矩阵通常可以通过对单位向量进行旋转、镜像和反射等操作来构建。一些常用的正交变换矩阵包括旋转矩阵、反射矩阵和Householder变换矩阵等。

具体地，如果X是一个m×n的矩阵，其中m表示向量的维度，n表示向量的数量，则A是一个m×n的矩阵，每列为一个新的向量。可以通过以下步骤求得A矩阵：

1.选择合适的正交变换矩阵Q。

2.将X乘以Q，得到A = QX。

3.验证A是否满足正交变换的定义，即A的列向量是正交的且每个列向量的范数为1。

需要注意的是，当n>m时，即向量数量大于向量维度时，存在无数个正交变换矩阵可以得到A矩阵。在这种情况下，通常需要选择一种特定的正交变换矩阵来保证A具有特定的性质，例如最小化A矩阵的二范数等。

相关问题

采用Householder变换法的QR算法

QR算法是一种用来求解矩阵特征值和特征向量的迭代算法。其中一个经典的QR算法是采用Householder变换法进行QR分解的。

QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。而Householder变换是一种线性变换，可以将一个向量映射为与某个坐标轴平行的向量。

QR算法的基本思想是通过不断地对矩阵进行QR分解，使得矩阵收敛到一个上三角矩阵。具体步骤如下：

1. 对初始矩阵A进行QR分解，得到A=QR。

2. 将R乘以Q的转置得到一个新的矩阵A1=RQ^T。

3. 对矩阵A1进行QR分解，得到A1=Q1R1。

4. 将R1乘以Q1的转置得到一个新的矩阵A2=R1Q1^T。

5. 重复以上步骤，直到矩阵A收敛到一个上三角矩阵T。

6. 上三角矩阵T的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

7. 对于每个特征值，可以通过逆幂迭代法求解对应的特征向量。

在QR分解中，Householder变换的作用是将矩阵的某一列向量化为与某个坐标轴平行的向量，从而简化QR分解的计算。具体来说，对于矩阵A中的第k列向量ak，可以通过Householder变换构造一个反射矩阵Hk，使得Hkak经过变换后只有第k个元素非零，即Hkak=[0,...,0,r]，其中r为一个实数。

Householder变换的构造可以通过以下步骤进行：

1. 计算向量ak的范数||ak||。

2. 构造一个与ak同维度的向量vk=[0,...,0,ak[k]+sign(ak[k])||ak||]，其中sign(ak[k])表示ak[k]的符号。

3. 计算反射矩阵Hk=I-2vv^T/||v||^2。

4. 对矩阵A进行变换，即A←HA，其中H为构造的反射矩阵。

通过不断地对矩阵进行Householder变换，可以将矩阵A化为上三角形式，从而实现QR分解。

隐式qr法求实矩阵的全部特征根matlab实现

隐式QR方法是一种用于求解实矩阵全部特征根的数值计算方法，Matlab可以实现此方法。

首先，假设我们需要求解的实矩阵A的全部特征根。我们可以使用隐式QR方法来迭代计算。

1. 首先，将矩阵A分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。可以使用Matlab中的函数[Q, R] = qr(A)来实现这一步骤。

2. 然后，计算矩阵T = R * Q，得到一个新的实矩阵T。

3. 对T进行相似变换，将其转化为一个Hessenberg矩阵，即T = U * H * U'，其中U为正交矩阵，H为Hessenberg矩阵。可以使用Matlab中的函数H = hess(T)来实现这一步骤。

4. 再次进行QR分解，将H分解为H = QR，得到一个新的实矩阵Q和上三角矩阵R。

5. 重复步骤2和步骤4，直到矩阵R的对角线元素足够接近于实数或为0。

6. 最后，矩阵R的对角线元素即为矩阵A的全部特征值。

以上就是用隐式QR方法求解实矩阵全部特征根的Matlab实现方法。通过迭代计算QR分解和Hessenberg分解，可以逐步逼近实矩阵的全部特征根。