score-based generative models公式推导

score-based generative models（基于分数的生成模型）是一种用于生成数据样本的统计模型。该模型的核心思想是通过优化分数函数来生成最优的样本。

首先，我们假设生成模型为概率分布函数P(x|θ)，其中x表示数据样本，θ表示模型参数。我们希望通过最大化概率分布函数P来获得最优的模型参数θ。

接下来，我们引入分数函数S(x)来度量数据样本x的“好坏”程度。分数函数可以是任意函数，其数值表示了样本的评分或得分，越高表示样本越好。我们的目标是通过优化分数函数的参数，来最大化数据样本的分数。

为了将生成模型和分数函数联系起来，我们采用生成模型的对数概率来定义分数函数，即S(x) = log P(x|θ)。这样，我们就将最大化概率分布函数P的问题转化为最大化分数函数S的问题。

接下来，我们可以使用随机梯度上升算法来优化分数函数S的参数。具体步骤如下：

1. 初始化模型参数θ。
2. 从数据集中随机抽取一个数据样本x。
3. 计算样本的分数S(x)，并在梯度的方向上更新模型参数θ。
4. 重复步骤2-3直到达到停止条件（如达到最大迭代次数或梯度收敛）。

在实践中，由于对数概率函数的计算可能会非常复杂，我们经常使用相对简单的分数函数来近似代替对数概率函数。例如，我们可以使用神经网络来作为分数函数的近似器，通过反向传播算法来更新网络参数。

总之，score-based generative models通过最大化分数函数来生成最优的数据样本，将原始的生成模型优化问题转化为分数函数优化问题。这种方法在生成数据样本方面具有广泛的应用，如生成图像、语音、文本等。