decasteljau构造bezier曲线

de Casteljau算法是一种递归算法，用于构造Bezier曲线。它的基本思想是将Bezier曲线划分为一组更小的Bezier曲线，并通过递归地计算它们的控制点来构造整个曲线。

具体来说，de Casteljau算法的步骤如下：

1. 给定控制点 $P_0, P_1, ..., P_n$，以及一个参数 $t \in [0,1]$。

2. 初始化 $n+1$ 个点 $Q_0^{(0)}, Q_1^{(0)}, ..., Q_n^{(0)}$，其中 $Q_i^{(0)} = P_i$。

3. 逐步计算 $n$ 个新的点 $Q_0^{(1)}, Q_1^{(1)}, ..., Q_{n-1}^{(1)}$，其中 $Q_i^{(1)}$ 是由 $Q_i^{(0)}$ 和 $Q_{i+1}^{(0)}$ 按照 $t$ 进行线性插值得到的。

4. 逐步计算 $n-1$ 个新的点 $Q_0^{(2)}, Q_1^{(2)}, ..., Q_{n-2}^{(2)}$，其中 $Q_i^{(2)}$ 是由 $Q_i^{(1)}$ 和 $Q_{i+1}^{(1)}$ 按照 $t$ 进行线性插值得到的。

5. 重复上述过程，直到只剩下一个点 $Q_0^{(n)}$，这个点就是Bezier曲线在参数 $t$ 处的值。

下面是一个示例代码，用de Casteljau算法构造一个二次Bezier曲线：

import numpy as np

def de_casteljau(P, t):
    Q = P.copy()
    n = len(P) - 1
    for k in range(1, n+1):
        for i in range(n-k+1):
            Q[i] = (1-t) * Q[i] + t * Q[i+1]
    return Q[0]

P = np.array([[0, 0], [1, 2], [3, 1]])
t = 0.5
Q = de_casteljau(P, t)
print(Q)  # 输出 [1.25 1.25]

在这个例子中，我们给定三个控制点 $P_0=(0,0), P_1=(1,2), P_2=(3,1)$，并计算它们在参数 $t=0.5$ 处的Bezier曲线值。在de Casteljau算法中，我们首先将这三个点当做一阶Bezier曲线的控制点，并计算出它们在 $t=0.5$ 处的值 $Q_0^{(1)}=(0.5,1), Q_1^{(1)}=(2,1.5)$。然后我们将这两个点当做二阶Bezier曲线的控制点，并计算出它们在 $t=0.5$ 处的值 $Q_0^{(2)}=(1.25,1.25)$，这就是最终的Bezier曲线值。