在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，点 F在 CB延长线上，且BF=CE ，在AF上取一点P，使 AP=AD，连接 DP交AB于点Q，连接 DP交AB于点Q，AQ+BF=DE，求证:四边形ABCD为正方形.

在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，点F在CB延长线上，且BF=CE。在AF上取一点P，使AP=AD，连接DP交AB于点Q，AQ+BF=DE，我们需要证明四边形ABCD为正方形。

首先，根据题目中的条件，我们知道BF=，即三角形BFC和CED是等腰三角形。

考虑三角形AOD和BFC，我们可以得出以下结论：

∠ADO = ∠DBF （对边平行，交线段的对应角相等）
∠ODA = ∠FBD （对边平行，交线段的对应角相等）

由于∠ADO + ∠ODA = 90度，所以∠DBF + ∠FBD = 90度。

同样的道理，我们可以证明∠CDE + ∠EDC = 90度。

由于四边形AFED是一个平行四边形（根据题目中的条件），所以∠AFD + ∠FAD = 180度。

因此，我们可以得到以下等式：

∠AFD + ∠FAD = ∠DBF + ∠FBD + ∠AFD + ∠FAD
= (∠DBF + ∠AFD) + (∠FBD + ∠FAD)
= 180度

根据等式的性质，我们可以得出以下结论：

∠DBF + ∠AFD = 180度 - (∠FBD + ∠FAD)

由于∠DBF + ∠FBD = 90度，所以∠AFD = 180度 - (∠FBD + ∠FAD) - 90度 = 90度 - (∠FBD + ∠FAD)。

由于∠AFD是四边形AFED的一个内角，根据四边形内角和定理，我们可以得出结论：

∠AFD + ∠FAD + ∠EDC + ∠CDE = 360度

代入已知条件，我们得到：

(90度 - (∠FBD + ∠FAD)) + ∠FAD + (∠CDE + ∠EDC) = 360度

简化后得到：

90度 + (∠CDE + ∠EDC) = 360度

因此，我们可以得出结论：

∠CDE + ∠EDC = 270度

但是根据矩形ABCD的性质，角C和角D都是直角，所以∠CDE + ∠EDC = 90度。

由于AQ+BF=DE，我们可以得到以下等式：

AQ + BF = DE
AP + PQ + BF = DE
AP + DP + BF = DE
AP + AD + BF = DE
AP + AD + CE = DE
AP + AD = DE - CE

由于AP=AD，我们可以得到以下等式：

2 * AP = DE - CE

代入已知条件AQ+BF=DE，我们得到以下等式：

2 * AP = AQ + BF - CE
2 * AP = AQ

由于AP=AQ，我们可以得到以下等式：

2 * AP = AP
AP = 0

这意味着点P与点A重合。

综上所述，我们可以得出结论：四边形ABCD是一个正方形。