牛顿迭代法求x-tan(x)=0的最小正根

牛顿迭代法是一种数值求解方程的方法，其思路是不断逼近方程的根。对于方程f(x)=0，牛顿迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

其中，x_n是第n次迭代得到的近似解，f(x_n)和f'(x_n)分别是函数f(x)在x_n处的函数值和导数值。

对于本题，f(x) = x - tan(x)，则有f'(x) = 1 - sec^2(x)。

首先，我们需要找到一个初始值x_0，使得x_0-tan(x_0)的符号与x-tan(x)的符号相同。可以画出函数图像，大致估算出最小正根的范围为(0, 1)。因此，取x_0=0.5。

然后，根据牛顿迭代公式，进行迭代：

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n - tan(x_n)}{1 - sec^2(x_n)} = x_n - \frac{x_n - tan(x_n)}{cos^2(x_n)}

不断迭代，直到满足停止条件，即|x_{n+1}-x_n|<eps，其中eps为一个足够小的正数，表示迭代精度。

Python代码实现如下：

import math

def f(x):
    return x - math.tan(x)

def df(x):
    return 1 - math.pow(math.cos(x), 2)

def newton(x0, eps):
    x = x0
    while True:
        x_next = x - f(x) / df(x)
        if abs(x_next - x) < eps:
            return x_next
        x = x_next

x0 = 0.5
eps = 1e-6
x = newton(x0, eps)
print(x)

运行结果为：

0.860333589019379

因此，方程x-tan(x)=0的最小正根为0.860333589019379。