MATLAB正切函数在数值分析中的应用：求解非线性方程和优化问题的利器

# 1. MATLAB正切函数的数学基础**

正切函数是三角函数的一种，定义为对边与邻边的比值。在MATLAB中，正切函数由`tan`函数表示。

**1.1 正切函数的定义和性质**

* 定义：`tan(x) = sin(x) / cos(x)`
* 奇函数：`tan(-x) = -tan(x)`
* 周期：`π`

**1.2 正切函数的图像**

正切函数的图像是一条穿过原点的周期性曲线。在正负π/2处，正切函数出现垂直渐近线。

# 2. 正切函数在非线性方程求解中的应用

正切函数在非线性方程求解中扮演着至关重要的角色，因为它可以将非线性方程转换为线性方程，从而利用线性方程求解的成熟方法求解非线性方程。本章节将介绍两种基于正切函数的非线性方程求解方法：牛顿-拉夫逊法和二分法。

### 2.1 牛顿-拉夫逊法

#### 2.1.1 方法原理

牛顿-拉夫逊法是一种迭代法，它通过在当前估计值处对非线性方程进行线性逼近，然后利用线性方程的解作为下一次迭代的估计值，逐步逼近方程的根。其迭代公式如下：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

其中，

* `x_n` 为第 `n` 次迭代的估计值
* `f(x)` 为非线性方程
* `f'(x)` 为 `f(x)` 的导数

#### 2.1.2 MATLAB实现

MATLAB提供了 `fzero` 函数，可以利用牛顿-拉夫逊法求解非线性方程。其语法如下：

x = fzero(fun, x0)

其中，

* `fun` 为非线性方程的函数句柄
* `x0` 为初始估计值

**示例代码：**

% 定义非线性方程
fun = @(x) x^3 - 2*x + 1;

% 初始估计值
x0 = 1;

% 求解方程
x = fzero(fun, x0);

% 输出结果
fprintf('牛顿-拉夫逊法求得的根为：%f\n', x);

### 2.2 二分法

#### 2.2.1 方法原理

二分法是一种基于区间搜索的非线性方程求解方法。它通过不断缩小包含方程根的区间，最终收敛到根的近似值。其算法步骤如下：

1. 给定一个包含方程根的区间 `[a, b]`
2. 计算区间中点 `c = (a + b) / 2`
3. 计算 `f(c)`
4. 如果 `f(c) = 0`，则 `c` 为方程的根
5. 如果 `f(c) > 0`，则方程的根在区间 `[a, c]` 中
6. 如果 `f(c) < 0`，则方程的根在区间 `[c, b]` 中
7. 重复步骤 2-6，直到区间长度小于给定的容差

#### 2.2.2 MATLAB实现

MATLAB提供了 `fminbnd` 函数，可以利用二分法求解非线性方程。其语法如下：

x = fminbnd(fun, a, b)

其中，

* `fun` 为非线性方程的函数句柄
* `a` 为区间的下界
* `b` 为区间的上界

**示例代码：**

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